《2025年快乐之星暑假篇七年级数学》

【例2】如图,在灯塔O观测小岛B位于南偏西$63^{\circ}$的方向,同时小岛C在灯塔O的北偏东$27^{\circ}$的方向,则$∠BOC$的度数为 (B)

A.$126^{\circ}$
B.$144^{\circ}$
C.$153^{\circ}$
D.$117^{\circ}$

答案：

【解析】如图,由题意,得$∠COE= 27^{\circ}$,$∠BOF= 63^{\circ}$,$\therefore ∠BOM= 90^{\circ}-63^{\circ}=27^{\circ}$,$\therefore ∠BOC= ∠BOM+∠MOE+∠COE= 27^{\circ}+90^{\circ}+27^{\circ}=144^{\circ}$.

【答案】B

【方法点睛】本题考查方向角,解题的关键是理解方向角的定义,属于中考常考题型.

【例3】已知点C在直线AB上,$AC= 8cm$,$BC= 6cm$,点M,N分别是AC,BC的中点,求线段MN的长.

答案：
【答案】解：如答图1,当点C在线段AB上时,由点M,N分别是AC,BC的中点,得$MC= \frac{1}{2}AC= 4cm$,$CN= \frac{1}{2}BC= 3cm$. 由线段的和差,得$MN= MC+CN= 7cm$.

如答图2,当点C在线段AB的延长线上时,由点M,N分别是AC,BC的中点,得$MC= \frac{1}{2}AC= 4cm$,$CN= \frac{1}{2}BC= 3cm$. 由线段的和差,得$MN= MC-CN= 1cm$.
综上所述,线段MN的长是7cm或1cm.
【方法点睛】本题考查了两点的距离,线段中点的性质,线段的和差,分类讨论是解题的关键.

1. 如图是某几何体的表面展开图,则该几何体是 (B)

A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱

答案： B

2. 如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形,那么从上面看这个几何体得到的平面图形是 (A)

答案： A

3. 下列说法：①直线AB和直线BA是同一条直线；②平角是一条直线；③两点之间,线段最短；④若$AB= BC$,则点B是线段AC的中点. 其中正确的有 (B)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B

4. 如果一个角的余角等于这个角的补角的$\frac{1}{4}$,那么这个角的度数是 (C)
A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

答案： 【解析】：
设这个角的度数为 $x^{\circ}$。
根据余角的定义，这个角的余角为 $90^{\circ} - x^{\circ}$。
根据补角的定义，这个角的补角为 $180^{\circ} - x^{\circ}$。
根据题意，有方程：
$90^{\circ} - x^{\circ} = \frac{1}{4}(180^{\circ} - x^{\circ})$
展开方程得：
$90^{\circ} - x^{\circ} = 45^{\circ} - \frac{1}{4}x^{\circ}$
整理方程，得：
$\frac{3}{4}x^{\circ} = 45^{\circ}$
解得：
$x = 60^{\circ}$
【答案】：C

5. 如图,已知射线$OA⊥$射线OB,射线OA表示北偏西$20^{\circ}$的方向,则射线OB表示的方向为 (C)

A.北偏东$60^{\circ}$
B.北偏东$55^{\circ}$
C.北偏东$70^{\circ}$
D.东偏北$75^{\circ}$

答案： 【解析】：
已知$OA \perp OB$，因此$\angle AOB = 90^\circ$。
射线$OA$表示北偏西$20^\circ$的方向，即从正北方向逆时针转$20^\circ$到达$OA$。
由于$OA$与$OB$垂直，从$OA$顺时针转$90^\circ$到达$OB$。
因此，从正北方向顺时针转$90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$到达$OB$。
所以，射线$OB$表示的方向为北偏东$70^\circ$。
【答案】：C.北偏东$70^\circ$