《2025年快乐之星暑假篇七年级数学》

7. 已知点 $ A(m,n) $,且有 $ mn \geq 0 $,则点 $ A $ 一定不在(B)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.坐标轴上

答案： 7. B

8. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,对于点 $ P(x,y) $,我们把点 $ P'(-y + 1,x + 1) $ 叫做点 $ P $ 的伴随点。已知点 $ A_1 $ 的伴随点为 $ A_2 $,点 $ A_2 $ 的伴随点为 $ A_3 $,点 $ A_3 $ 的伴随点为 $ A_4 $,…$$,这样依次得到点 $ A_1,A_2,A_3,…,A_n $。若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (3,1) $,则点 $ A_{2023} $ 的坐标为______$(-3,1)$。

答案： 8. $(-3,1)$

9. 若点 $ P(a,a - 5) $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ m_1 $,到 $ y $ 轴的距离为 $ m_2 $。
(1) 当 $ a = 1 $ 时,$ m_1 + m_2 = $5；
(2) 若 $ m_1 + m_2 = 7 $,求点 $ P $ 的坐标；
解：∵$m_{1}+m_{2}=7$，∴$|a| + |a - 5| = 7$
①当$a ＜ 0$时，$-a - (a - 5) = 7$，解得$a = -1$，∴$P(-1, -6)$
②当$0\leqslant a\leqslant 5$时，$a - (a - 5) = 5\neq7$，无解
③当$a ＞ 5$时，$a + (a - 5) = 7$，解得$a = 6$，∴$P(6, 1)$
综上，点$P$的坐标为$(-1, -6)$或$(6, 1)$
(3) 若点 $ P $ 在第四象限,且 $ 2m_1 + km_2 = 10 $($ k $ 为常数),求 $ k $ 的值。
解：∵点$P$在第四象限，∴$a ＞ 0$，$a - 5 ＜ 0$
∴$m_{1}=|a - 5| = 5 - a$，$m_{2}=|a| = a$
∵$2m_{1}+km_{2}=10$，∴$2(5 - a) + ka = 10$
即$(k - 2)a = 0$，∵$a ＞ 0$，∴$k - 2 = 0$，解得$k = $2

答案：
(1) 5
(2)解：
∵$m_{1}+m_{2}=7$，
∴$|a| + |a - 5| = 7$
①当$a ＜ 0$时，$-a - (a - 5) = 7$，解得$a = -1$，
∴$P(-1, -6)$
②当$0\leqslant a\leqslant 5$时，$a - (a - 5) = 5\neq7$，无解
③当$a ＞ 5$时，$a + (a - 5) = 7$，解得$a = 6$，
∴$P(6, 1)$
综上，点$P$的坐标为$(-1, -6)$或$(6, 1)$
(3)解：
∵点$P$在第四象限，
∴$a ＞ 0$，$a - 5 ＜ 0$
∴$m_{1}=|a - 5| = 5 - a$，$m_{2}=|a| = a$
∵$2m_{1}+km_{2}=10$，
∴$2(5 - a) + ka = 10$
即$(k - 2)a = 0$，
∵$a ＞ 0$，
∴$k - 2 = 0$，解得$k = 2$

10. 对于实数 $ a,b $ 定义两种新运算“※”和“$ * $”：$ a※b = a + kb $,$ a * b = ka + b $(其中 $ k $ 为常数,且 $ k \neq 0 $)。若对于平面直角坐标系 $ xOy $ 中的点 $ P(a,b) $,有点 $ P'(a※b,a * b) $ 与之对应,则称点 $ P $ 的“$ k $ 衍生点”为点 $ P' $。例如：$ P(1,3) $ 的“$ 2 $ 衍生点”为 $ P'(1 + 2×3,2×1 + 3) $,即 $ P'(7,5) $。
(1) 点 $ P(-1,5) $ 的“$ 3 $ 衍生点”的坐标为(14,2)；
(2) 若点 $ P $ 的“$ 5 $ 衍生点”$ P' $ 的坐标为 $ (9,-3) $,求点 $ P $ 的坐标；
解：设点$P$的坐标为$(a,b)$，由题意得：
$\begin{cases}a + 5b = 9 \\5a + b = -3\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -1 \\b = 2\end{cases}$
$\therefore$ 点$P$的坐标为(-1,2)
(3) 若点 $ P $ 的“$ k $ 衍生点”为点 $ P' $,且直线 $ PP' $ 平行于 $ y $ 轴,线段 $ PP' $ 的长度为线段 $ OP $ 长度的 $ 3 $ 倍,求 $ k $ 的值。
解：设$P(a,b)$，则点$P'$的坐标为$(a + kb, ka + b)$.
$\because PP'$平行于$y$轴，
$\therefore a = a + kb$，即$kb = 0$.
又$\because k \neq 0$，
$\therefore b = 0$.
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(a,0)$，点$P'$的坐标为$(a, ka)$.
$\therefore$ 线段$PP'$的长度为$|ka|$，线段$OP$的长为$|a|$.
由题意，得$|PP'| = 3|OP|$，
$\therefore |ka| = 3|a|$，
$\therefore k = $±3.

答案：
(1) $(14,2)$
(2) 设点$P$的坐标为$(a,b)$，由题意得：
$\begin{cases}a + 5b = 9 \\5a + b = -3\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -1 \\b = 2\end{cases}$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-1,2)$
(3) 设$P(a,b)$，则点$P'$的坐标为$(a + kb, ka + b)$.
$\because PP'$平行于$y$轴，
$\therefore a = a + kb$，即$kb = 0$.
又$\because k \neq 0$，
$\therefore b = 0$.
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(a,0)$，点$P'$的坐标为$(a, ka)$.
$\therefore$ 线段$PP'$的长度为$|ka|$，线段$OP$的长为$|a|$.
由题意，得$|PP'| = 3|OP|$，
$\therefore |ka| = 3|a|$，
$\therefore k = ±3$.