搜索
1. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-3x - 1 = 0 $ 的两根, 不解方程, 求 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $ 的值.
答案：
解:
∵x₁,x₂是一元二次方程x²-3x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=3,x₁x₂=-1.
∴$\frac{1}{x₁}+\frac{1}{x₂}=\frac{x₁+x₂}{x₁x₂}=\frac{3}{-1}=-3$.
∵x₁,x₂是一元二次方程x²-3x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=3,x₁x₂=-1.
∴$\frac{1}{x₁}+\frac{1}{x₂}=\frac{x₁+x₂}{x₁x₂}=\frac{3}{-1}=-3$.
2. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}+x - 3 = 0 $ 的两个根, 求 $ \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}} $ 的值.
答案：
解:
∵x₁,x₂是方程x²+x-3=0的两个根，
∴x₁+x₂=-1,x₁x₂=-3，
∴$\frac{x₂}{x₁}+\frac{x₁}{x₂}=\frac{(x₁+x₂)²-2x₁x₂}{x₁x₂}=\frac{1+6}{-3}=-\frac{7}{3}$.
∵x₁,x₂是方程x²+x-3=0的两个根，
∴x₁+x₂=-1,x₁x₂=-3，
∴$\frac{x₂}{x₁}+\frac{x₁}{x₂}=\frac{(x₁+x₂)²-2x₁x₂}{x₁x₂}=\frac{1+6}{-3}=-\frac{7}{3}$.
3. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-3x - 4 = 0 $ 的两个实数根, 求 $ (1 + x_{1})(1 + x_{2}) $ 的值.
答案：
解:
∵x₁,x₂是一元二次方程x²-3x-4=0的两个实数根,
∴x₁+x₂=3,x₁x₂=-4，
∴(1+x₁)(1+x₂)=1+x₁x₂+(x₁+x₂)=1-4+3=0.
∵x₁,x₂是一元二次方程x²-3x-4=0的两个实数根,
∴x₁+x₂=3,x₁x₂=-4，
∴(1+x₁)(1+x₂)=1+x₁x₂+(x₁+x₂)=1-4+3=0.
4. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ 2x^{2}-3x - 5 = 0 $ 的两个根, 不解方程, 求下列代数式的值:
(1) $ x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2} $; (2) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $; (3) $ |x_{1}-x_{2}| $.
(1) $ x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2} $; (2) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $; (3) $ |x_{1}-x_{2}| $.
答案：
解:
∵x₁,x₂是方程2x²-3x-5=0的两个根，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$,x₁x₂=$-\frac{5}{2}$.
(1)x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂(x₁+x₂)=$-\frac{5}{2}×\frac{3}{2}=-\frac{15}{4}$.
(2)x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=$(\frac{3}{2})²-2×(-\frac{5}{2})=\frac{29}{4}$.
(3)
∵|x₁-x₂|²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=$(\frac{3}{2})²-4×(-\frac{5}{2})=\frac{49}{4}$,
∴|x₁-x₂|=$\frac{7}{2}$.
∵x₁,x₂是方程2x²-3x-5=0的两个根，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$,x₁x₂=$-\frac{5}{2}$.
(1)x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂(x₁+x₂)=$-\frac{5}{2}×\frac{3}{2}=-\frac{15}{4}$.
(2)x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=$(\frac{3}{2})²-2×(-\frac{5}{2})=\frac{29}{4}$.
(3)
∵|x₁-x₂|²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=$(\frac{3}{2})²-4×(-\frac{5}{2})=\frac{49}{4}$,
∴|x₁-x₂|=$\frac{7}{2}$.
5. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ k^{2}x^{2}+2(k - 1)x + 1 = 0 $, 若方程的两个实数根的倒数的平方和等于 14, 求 $ k $ 的值.
答案：
解:
∵关于x的一元二次方程k²x²+2(k-1)x+1=0有两个实数根,
∴k²≠0,且Δ=[2(k-1)]²-4k²=-8k+4≥0，
∴k≤$\frac{1}{2}$且k≠0.
设方程的两个实数根为x₁,x₂，
则x₁+x₂=$-\frac{2(k-1)}{k²}$,x₁x₂=$\frac{1}{k²}$，
∴$\frac{1}{x₁²}+\frac{1}{x₂²}=\frac{x₂²+x₁²}{x₁²x₂²}=\frac{(x₁+x₂)²-2x₁x₂}{x₁²x₂²}=4(k-1)²-$2k²=2(k²-4k+2)=14,即k²-4k-5=0，
解得k=-1或k=5.
又
∵k≤$\frac{1}{2}$且k≠0,
∴k=-1.
∵关于x的一元二次方程k²x²+2(k-1)x+1=0有两个实数根,
∴k²≠0,且Δ=[2(k-1)]²-4k²=-8k+4≥0，
∴k≤$\frac{1}{2}$且k≠0.
设方程的两个实数根为x₁,x₂，
则x₁+x₂=$-\frac{2(k-1)}{k²}$,x₁x₂=$\frac{1}{k²}$，
∴$\frac{1}{x₁²}+\frac{1}{x₂²}=\frac{x₂²+x₁²}{x₁²x₂²}=\frac{(x₁+x₂)²-2x₁x₂}{x₁²x₂²}=4(k-1)²-$2k²=2(k²-4k+2)=14,即k²-4k-5=0，
解得k=-1或k=5.
又
∵k≤$\frac{1}{2}$且k≠0,
∴k=-1.
查看更多完整答案，请扫码查看
