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1. 已知 $ y_{1} $ 与 $ x^{2}+1 $ 成正比例,$ y_{2} $ 与 $ x - 1 $ 成正比例,$ y = y_{1}+y_{2} $,当 $ x = 1 $ 时,$ y = 4 $,当 $ x = - 2 $ 时,$ y = 7 $. 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式.
答案：
解:根据题意,设y₁=k₁(x²+1),y₂=k₂(x-1),
∵y=y₁+y₂,
∴y=k₁(x²+1)+k₂(x-1)=k₁x²+k₂x+k₁-k₂.
又当x=1时,y=4,当x=-2时,y=7,
∴{k₁+k₂+k₁-k₂=4,解得{k₁=2,
{4k₁-2k₂+k₁-k₂=7, {k₂=1,
∴y关于x的函数解析式为y=2x²+x+1.
∵y=y₁+y₂,
∴y=k₁(x²+1)+k₂(x-1)=k₁x²+k₂x+k₁-k₂.
又当x=1时,y=4,当x=-2时,y=7,
∴{k₁+k₂+k₁-k₂=4,解得{k₁=2,
{4k₁-2k₂+k₁-k₂=7, {k₂=1,
∴y关于x的函数解析式为y=2x²+x+1.
2. 已知抛物线 $ y = ax^{2}+bx - 1 $ 经过 $ A(1,2) $,$ B(-3,2) $ 两点,求该抛物线的函数解析式.
答案：
解:把A(1,2),B(-3,2)代入y=ax²+bx-1,得
{a+b-1=2,解得{a=1,
{9a-3b-1=2, {b=2,
所以该抛物线的函数解析式为y=x²+2x-1.
{a+b-1=2,解得{a=1,
{9a-3b-1=2, {b=2,
所以该抛物线的函数解析式为y=x²+2x-1.
3. 已知一条抛物线过点 $ (1,3) $,且顶点坐标为 $ (2,1) $,求该抛物线的函数解析式.
答案：
解:设该抛物线的函数解析式为y=a(x-2)²+1,
把(1,3)代入得a(1-2)²+1=3,解得a=2,
所以该抛物线的函数解析式为y=2(x-2)²+1.
把(1,3)代入得a(1-2)²+1=3,解得a=2,
所以该抛物线的函数解析式为y=2(x-2)²+1.
4. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象经过 $ (0,-1) $ 与 $ (3,5) $ 两点,对称轴是直线 $ x = 1 $. 求这个二次函数的解析式.
答案：
解:根据题意得{c=-1,解得{a=2,
{9a+3b+c=5, {b=-4,
{-b/2a=1, {c=-1,
所以这个二次函数的解析式为y=2x²-4x-1.
{9a+3b+c=5, {b=-4,
{-b/2a=1, {c=-1,
所以这个二次函数的解析式为y=2x²-4x-1.
5. 已知二次函数的图象经过三点 $ A(-1,0) $,$ B(0,2) $,$ C(2,0) $,求此二次函数的解析式.
答案：
解:设此二次函数的解析式为y=ax²+bx+c,
根据题意得{a-b+c=0,解得{a=-1,
{c=2, {b=1,
{4a+2b+c=0, {c=2,
所以此二次函数解析式为y=-x²+x+2.
根据题意得{a-b+c=0,解得{a=-1,
{c=2, {b=1,
{4a+2b+c=0, {c=2,
所以此二次函数解析式为y=-x²+x+2.
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