《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

3. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过$A(-1,0)$,$B(3,0)和C(0,3)$,点$P是直线BC$上方抛物线上的一个动点(且不与点$B$,$C$重合).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)求$\triangle PBC$面积的最大值.

答案：
(1)设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x-3),
把C(0,3)代入,得3=a×1×(-3),
∴a=-1,
∴抛物线的函数解析式为y=-(x+1)(x-3),
即y=-x²+2x+3.
(2)
∵B(3,0),C(0,3),
∴直线BC的函数解析式为y=-x+3,
过点P作PD⊥x轴,交BC于点D.
设P(x,-x²+2x+3),则D(x,-x+3),
∴PD=(-x²+2x+3)-(-x+3)=-x²+3x,
∴S△PBC=S△PDC+S△PDB=1/2PD·OB=1/2(-x²+3x)×3=-3/2(x-3/2)²+27/8.
∵0＜x＜3,
∴当x=3/2时,△PBC的面积最大,最大值是27/8.

4. 如图,抛物线$y = -x^{2} + 4x + 5与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,抛物线的顶点为$D$.
(1)求点$A$,$B$,$C$,$D$的坐标;
(2)求四边形$ABCD$的面积.

答案：
(1)当x=0时,y=5,
∴C(0,5).
当y=0时,-x²+4x+5=0,
解得x₁=5,x₂=-1,
∴A(5,0),B(-1,0).
∵y=-x²+4x+5=-(x-2)²+9,
∴顶点D的坐标为(2,9).
(2)连接OD.
S四边形ABCD=S△AOD+S△COD+S△BOC=1/2×5×9+1/2×5×2+1/2×1×5=30.