《2025年暑假生活安徽教育出版社数学通用版S》

13. 对于任意实数 a,b,定义一种新运算⊕：$a\oplus b= (a+1)^{2}+(b+1)^{2}$,例如：$1\oplus 2= (1+1)^{2}+(2+1)^{2}= 13$.
(1)$(-2)\oplus 3=$17；
(2)求$2\oplus [(-1)\oplus (-3)]$的平方根；
解: 原式 $= 2 \oplus [(-1 + 1)^2 + (-3 + 1)^2] = 2 \oplus 4 = 9 + 25 = 34$, 则 34 的平方根是 $\pm \sqrt{34}$.
(3)我们知道,实数的加法运算和乘法运算都满足交换律,试问：实数 a,b 的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由.
解: 这种新运算满足交换律, 理由如下: 因为 $a \oplus b = (a + 1)^2 + (b + 1)^2$, $b \oplus a = (b + 1)^2 + (a + 1)^2 = (a + 1)^2 + (b + 1)^2$, 所以 $a \oplus b = b \oplus a$. 所以这种新运算满足交换律.

答案： 解:
(1) 17
(2) 原式 $= 2 \oplus [(-1 + 1)^2 + (-3 + 1)^2] = 2 \oplus 4 = 9 + 25 = 34$, 则 34 的平方根是 $\pm \sqrt{34}$.
(3) 这种新运算满足交换律, 理由如下: 因为 $a \oplus b = (a + 1)^2 + (b + 1)^2$, $b \oplus a = (b + 1)^2 + (a + 1)^2 = (a + 1)^2 + (b + 1)^2$, 所以 $a \oplus b = b \oplus a$. 所以这种新运算满足交换律.

14. 数学课上,好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？以$0.\dot {3}$为例,老师给小明做了以下解答(注：$0.\dot {3}$即 0.33333…)：
设$0.\dot {3}$为 x,即：$0.\dot {3}= x$,
等式两边同时乘 10,得：$3.\dot {3}= 10x$,
即$3+0.\dot {3}= 10x$.因为$0.\dot {3}= x$,所以$3+x= 10x$.解得$x= \frac {1}{3}$,即$0.\dot {3}= \frac {1}{3}$.
因为分数是有理数,所以$0.\dot {3}$是有理数.
同学们,你们学会了吗？请根据上述阅读材料,解决下列问题：
(1)无限循环小数$0.\dot {2}$写成分数的形式是$\frac{2}{9}$；
(2)请用解方程的办法将$0.\dot {2}\dot {1}$写成分数.
解: 设 $0.\dot{2}\dot{1}$ 为 $x$, 即 $0.\dot{2}\dot{1} = x$, 等式两边同时乘 100, 得 $21.\dot{2}\dot{1} = 100x$, 即 $21 + 0.\dot{2}\dot{1} = 100x$. 因为 $0.\dot{2}\dot{1} = x$, 所以 $21 + x = 100x$. 解得 $x = \frac{7}{33}$, 即 $0.\dot{2}\dot{1} = \frac{7}{33}$.

答案： 解:
(1) 设 $0.\dot{2}$ 为 $x$, 即 $0.\dot{2} = x$, 等式两边同时乘 10, 得 $2.\dot{2} = 10x$, 即 $2 + 0.\dot{2} = 10x$. 因为 $0.\dot{2} = x$, 所以 $2 + x = 10x$, 解得 $x = \frac{2}{9}$, 即 $0.\dot{2} = \frac{2}{9}$, 故答案为 $\frac{2}{9}$.
(2) 设 $0.\dot{2}\dot{1}$ 为 $x$, 即 $0.\dot{2}\dot{1} = x$, 等式两边同时乘 100, 得 $21.\dot{2}\dot{1} = 100x$, 即 $21 + 0.\dot{2}\dot{1} = 100x$. 因为 $0.\dot{2}\dot{1} = x$, 所以 $21 + x = 100x$. 解得 $x = \frac{7}{33}$, 即 $0.\dot{2}\dot{1} = \frac{7}{33}$.