《2025年暑假生活安徽教育出版社数学通用版S》

19. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码。有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆。多项式$x^{4} - y^{4}因式分解的结果是(x + y)(x - y)(x^{2} + y^{2})$,若取$x = 9$,$y = 9$,则各个因式的值是$x + y = 18$,$x - y = 0$,$x^{2} + y^{2} = 162$,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码。对于多项式$9x^{3} - xy^{2}$,取$x = 11$,$y = 6$时,用上述方法产生的密码是______(写出一个即可)。
113927

答案： 113927（答案不唯一）

20. 把几个图形拼成一个新的图形,再通过图形面积的计算,常常可以得到一些有用的信息。如图(1)所示,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成$9$块,若图中①②都是边长为$a$的大正方形,③④都是边长为$b$的小正方形,剩下的都是边长分别为$a$,$b$的小长方形。
(1)观察图形,发现多项式$2a^{2} + 5ab + 2b^{2}$可以因式分解为$(a + 2b)(2a + b)$；
(2)若每块小长方形的面积为$4$,四个正方形的面积之和为$34$,试求图(1)中所有裁剪线(虚线部分)长之和；
由题意，得$ \begin{cases}ab = 4, \\ 2a^2 + 2b^2 = 34,\end{cases} $
所以$ a^2 + b^2 = 17 $。
所以$ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 17 + 2×4 = 25 $。
所以$ a + b = 5 $（负值舍去）。
所以图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为$ 2(a + 2b) + 2(2a + b) = 2a + 4b + 4a + 2b = 6(a + b) = 30 $。
(3)类似地,利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式。如图(2)所示的是一个棱长为$x$的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体,请你根据图中图形的变化关系,写出一个代数恒等式：______(因式分解形式)。

答案：
(1)$ (a + 2b)(2a + b) $
(2)由题意，得$ \begin{cases}ab = 4, \\ 2a^2 + 2b^2 = 34,\end{cases} $
所以$ a^2 + b^2 = 17 $。
所以$ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 17 + 2×4 = 25 $。
所以$ a + b = 5 $（负值舍去）。
所以图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为$ 2(a + 2b) + 2(2a + b) = 2a + 4b + 4a + 2b = 6(a + b) = 30 $。