《2025年暑假生活安徽教育出版社数学通用版S》

17. 综合与实践：特值法是解决数学问题的一种常用方法,即通过取题中某个未知量为特殊值,从而通过简单的运算,得出最终答案的一种方法. 综合实践课上田老师展示了如下例题：
例：已知多项式 $ 2 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + m $ 有一个因式是 $ x + 2 $,求 $ m $ 的值.
解：由题意,设 $ 2 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + m = A \cdot ( x + 2 ) $($ A $ 为整式),
由于上式为恒等式,为了方便计算,取 $ x = - 2 $,
则 $ 2 × ( - 2 ) ^ { 3 } - 2 × ( - 2 ) ^ { 2 } + m = 0 $,解得 $ m = \blacksquare $.
数学思考：(1)“$ \blacksquare $”处 $ m $ 的值为______；
方法应用：(2)已知多项式 $ 2 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - x + b $ 有一个因式是 $ 2 x - 3 $,求 $ b $ 的值；
深入探究：(3)若多项式 $ x ^ { 4 } + a x ^ { 3 } + b x - 4 $ 有因式 $ x + 1 $ 和 $ x - 2 $,求 $ a $,$ b $ 的值.
(1) 24
(2) 由题意，设 $2x^3 - x^2 - x + b = A \cdot (2x - 3)$（$A$ 为整式），
令 $2x - 3 = 0$，即 $x = \frac{3}{2}$，代入上式，
得 $2×(\frac{3}{2})^3 - (\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2} + b = 0$，解得 $b = -3$。
(3) 依题意，设 $x^4 + ax^3 + bx - 4 = A \cdot (x + 1)(x - 2)$，
由于上式是恒等式，为方便计算，
取 $x = -1$，得 $(-1)^4 + a×(-1)^3 + b×(-1) - 4 = 0$，即 $a + b = -3$。
取 $x = 2$，得 $2^4 + a×2^3 + b×2 - 4 = 0$，即 $4a + b = -6$。
解方程组 $\begin{cases}a + b = -3 \\ 4a + b = -6\end{cases}$，得 $\begin{cases}a = -1 \\ b = -2\end{cases}$，
所以 $a = -1$，$b = -2$。

答案： 解：
(1) 24
(2) 由题意，设 $2x^3 - x^2 - x + b = A \cdot (2x - 3)$（$A$ 为整式），
令 $2x - 3 = 0$，即 $x = \frac{3}{2}$，代入上式，
得 $2×(\frac{3}{2})^3 - (\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2} + b = 0$，解得 $b = -3$。
(3) 依题意，设 $x^4 + ax^3 + bx - 4 = A \cdot (x + 1)(x - 2)$，
由于上式是恒等式，为方便计算，
取 $x = -1$，得 $(-1)^4 + a×(-1)^3 + b×(-1) - 4 = 0$，即 $a + b = -3$。
取 $x = 2$，得 $2^4 + a×2^3 + b×2 - 4 = 0$，即 $4a + b = -6$。
解方程组 $\begin{cases}a + b = -3 \\ 4a + b = -6\end{cases}$，得 $\begin{cases}a = -1 \\ b = -2\end{cases}$，
所以 $a = -1$，$b = -2$。