《2025年暑假生活安徽教育出版社数学通用版S》

17. 如图(1)所示,已知$ AD // BC $,$ \angle B = \angle D = 120 ^ { \circ } $.
(1)请问：AB与CD平行吗？为什么？
(2)若点E,F在线段CD上,且满足AC平分$ \angle BAE $,AF平分$ \angle DAE $,如图(2)所示,求$ \angle FAC $的度数；
(3)若点E在直线CD上,且满足$ \angle EAC = \frac { 1 } { 2 } \angle BAC $,求$ \angle ACD : \angle AED $的值(请画出正确图形,并解答).

答案： 解：
(1) 平行。
因为 $ AD // BC $，所以 $ \angle A + \angle B = 180 ^ { \circ } $。
又因为 $ \angle B = \angle D = 120 ^ { \circ } $，所以 $ \angle D + \angle A = 180 ^ { \circ } $。所以 $ AB // CD $。
(2) 因为 $ AD // BC $，$ \angle B = \angle D = 120 ^ { \circ } $，所以 $ \angle DAB = 60 ^ { \circ } $。
因为 $ AC $ 平分 $ \angle BAE $，$ AF $ 平分 $ \angle DAE $，
所以 $ \angle EAC = \frac { 1 } { 2 } \angle BAE $，$ \angle EAF = \frac { 1 } { 2 } \angle DAE $。
所以 $ \angle FAC = \angle EAC + \angle EAF = \frac { 1 } { 2 } ( \angle BAE + \angle DAE ) = \frac { 1 } { 2 } \angle DAB = 30 ^ { \circ } $。
(3) ① 如图①所示，当点 $ E $ 在线段 $ CD $ 上时，由
(1)可得 $ AB // CD $，
所以 $ \angle ACD = \angle BAC $，$ \angle AED = \angle BAE $。
又因为 $ \angle EAC = \frac { 1 } { 2 } \angle BAC $，所以 $ \angle ACD : \angle AED = 2 : 3 $。
② 如图②所示，当点 $ E $ 在 $ DC $ 的延长线上时，
由
(1)可得 $ AB // CD $，
所以 $ \angle ACD = \angle BAC $，$ \angle AED = \angle BAE $。
又因为 $ \angle EAC = \frac { 1 } { 2 } \angle BAC $，所以 $ \angle ACD : \angle AED = 2 : 1 $。
③ 若点 $ E $ 在 $ CD $ 的延长线上时，$ \angle EAC = \frac { 1 } { 2 } \angle BAC $ 不成立，不合题意。