《2025年智趣暑假作业云南科技出版社八年级数学北师大版》

2. 如图,点$P为\triangle ABC$三条角平分线的交点,$PD \perp AB$,$PE \perp BC$,$PF \perp AC$,则$PD$=$PE$=$PF$.

答案： = =

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD平分\angle CAB$,交$CB于点D$,过点$D作DE \perp AB于点E$.
(1) 求证：$\triangle ACD \cong \triangle AED$；
(2) 若$\angle B = 30^{\circ}$,$CD = 1$,求$BD$的长.

答案：
(1)
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,
∴∠CAD=∠EAD,∠DEA=∠C=90°.
∵AD=AD,
∴△ACD≌△AED(AAS).
(2)
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∵∠B=30°,DC=DE=1,
∴BD=2DE=2.

2. 在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方指挥部设在$A$区内(如图所示,其中$BC$表示铁路,$BD$表示公路,该图的比例尺为$1:35000$),且到公路、铁路的距离均为$350$米,$\angle CBD = 60^{\circ}$,请你在此作战图中标出蓝方指挥部的位置.

答案： 【解析】：
根据题意，蓝方指挥部到公路、铁路的距离相等，我们可以利用角平分线的性质来确定指挥部的位置，又因为该图的比例尺为$1:35000$，且蓝方指挥部到公路、铁路的距离均为$350$米，所以我们需要先根据比例尺将$350$米转化为图上的距离，然后在图上标出这个位置。
1. 首先，我们需要根据比例尺$1:35000$，计算$350$米在图上的距离。由于$35000$厘米等于$350$米，所以图上的$1$厘米代表实际的$350$米。因此，$350$米在图上的距离就是$1$厘米。
2. 接下来，我们在图上利用角平分线的性质，作$\angle CBD$的平分线，由于$\angle CBD = 60^{\circ}$，所以其平分线将$\angle CBD$分为两个$30^{\circ}$的角。
3. 然后，我们在角平分线上从点$B$开始，沿着平分线量取$1$厘米的距离，这个点就是蓝方指挥部的位置。
4. 最后，我们将这个点标记为蓝方指挥部的位置。
【答案】：
在图上作$\angle CBD$的平分线，在平分线上从点$B$开始量取$1$厘米的距离，标记这个点为蓝方指挥部的位置