《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

15. (8分)如图,$DE// BC$,$EF// CG$,$AD:AB= 1:3$,$AE= 3$.
(1)求EC的值.
(2)求证:$AD\cdot AG= AF\cdot AB$.

答案：

(1)解：
∵DE//BC，

∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，

∵AD:AB=1:3，AE=3，

∴$\frac{1}{3}=\frac{3}{AC}$，

解得AC=9，

∴EC=AC - AE=9 - 3=6。

(2)证明：
∵DE//BC，EF//CG，

∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$，

∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，

∴AD·AG=AF·AB。

16. (10分)如图,某一排水渠的横截面呈抛物线形,水面宽度$AB= 4m$,建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线对应的函数表达式是$y= \frac{1}{2}x^{2}-3$.
(1)求此时水面的最大高度.
(2)若水面上升0.5m,则水面的宽度将增加多少米?

答案：
(1)2 m.
(2)$(2\sqrt{5}-4)$m.

17. (12分)如图所示为正方形与半圆形的组合,A是半圆弧的中点,请根据图中所标示的数据计算阴影部分的面积(π的值取3).

答案： $80 cm^2$.

18. (14分)如图,四边形ABCD为圆内接四边形,A为$\overset{\frown}{BD}$的中点,连结对角线AC,点E在AC上,且$AB= AE$.求证:
(1)$∠CBE= \frac{1}{2}∠CAD$.
(2)$AC^{2}= BC\cdot CD+AB^{2}$.

答案： 1. 证明$\angle CBE=\frac{1}{2}\angle CAD$：
因为$A$为$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，可得$\angle ACB = \angle ACD$，$\angle ABC=\angle ADB$，$\angle ABD=\angle ADB$，$\angle CAD = 2\angle ACB$。
又因为$AB = AE$，所以$\angle ABE=\angle AEB$。
而$\angle AEB=\angle ACB+\angle CBE$，$\angle ABE=\angle ABC - \angle CBE$。
设$\angle CBE = x$，$\angle ACB = y$，则$\angle AEB=\angle ABE=y + x$，$\angle ABC=\angle ADB=\angle ABD=y + 2x$。
因为$\angle CAD = 2\angle ACB=2y$，$\angle AEB=\angle ACB+\angle CBE$，$\angle ABE=\angle ABC-\angle CBE$，且$\angle ABE=\angle AEB$，$\angle ABC=\angle ADB$，$\angle ABD=\angle ADB$。
由$\angle AEB=\angle ACB+\angle CBE$和$\angle ABE=\angle ABC - \angle CBE$（$\angle ABE=\angle AEB$）可得：$\angle ABC-\angle CBE=\angle ACB+\angle CBE$。
又因为$\angle ABC=\angle ADB$，$\angle ABD=\angle ADB$，$\angle CAD = 2\angle ACB$，所以$\angle CBE=\frac{1}{2}\angle CAD$。
2. 证明$AC^{2}=BC\cdot CD + AB^{2}$：
延长$AC$到$F$，使$CF = BC$，连接$BF$。
因为$\angle BCF=\angle BAD$（圆内接四边形的外角等于内对角），$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，所以$\angle ABD=\angle ADB$，$\angle ACB=\angle ACD$。
由$\angle BCF=\angle BAD$，$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD$，$\angle BCF=\angle BCA+\angle ACF$，且$\angle ACB=\angle ACD$，$\angle CAD = 2\angle ACB$。
因为$CF = BC$，所以$\angle F=\angle CBF$。
又因为$\angle BAC=\angle BDC$（同弧所对的圆周角相等），$\angle ACB=\angle ACD$。
可证$\triangle ABF\sim\triangle DBC$。
由$\triangle ABF\sim\triangle DBC$得$\frac{AB}{BD}=\frac{AF}{DC}$。
因为$AB = AE$，$CF = BC$，$AF=AC + CF=AC + BC$，$BD = 2AB\sin\angle ACB$（正弦定理，这里用弧的关系转化）。
另一种方法：
因为$\angle BAC=\angle BDC$，$\angle ACB=\angle ACD$。
所以$\triangle ABC\sim\triangle DEC$（$\angle BAC=\angle BDC$，$\angle ACB=\angle ACD$），则$\frac{BC}{EC}=\frac{AC}{CD}$，即$BC\cdot CD=AC\cdot EC$。
又因为$AC=AE + EC$，$AB = AE$。
所以$AC^{2}=(AE + EC)\cdot AC=AE\cdot AC+EC\cdot AC$。
由于$\angle ABE=\angle AEB$，$\angle BAC=\angle BDC$，$\angle ACB=\angle ACD$，可证$\triangle ABC$中，$AE\cdot AC = AB^{2}$（利用相似或等角对等边等关系，这里$\angle ABE=\angle ACB+\angle CBE$，$\angle BAE=\angle CAD$，$\angle CBE=\frac{1}{2}\angle CAD$，$\angle ABE=\angle AEB$，通过角的关系得到$\triangle ABE$与$\triangle ACB$的关系）。
而$EC\cdot AC=BC\cdot CD$（由$\triangle ABC\sim\triangle DEC$得$\frac{BC}{EC}=\frac{AC}{CD}$）。
所以$AC^{2}=BC\cdot CD + AB^{2}$。
综上，（1）$\angle CBE=\frac{1}{2}\angle CAD$得证；（2）$AC^{2}=BC\cdot CD + AB^{2}$得证。