《2025年53精准练九年级数学下册华师大版山西专版》

11. 抛物线$y = 2x^{2}-5$关于$x$轴对称的抛物线所对应的函数表达式是（ ）
A. $y = 2x^{2}+5$
B. $y = -2x^{2}-5$
C. $y = -2x^{2}+5$
D. $y = -\frac{1}{2}x^{2}+5$

答案： C

12. 函数$y = ax^{2}+c$与$y = ax + c(a\neq0)$在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
　　　　 　　
　　　　 　　

答案： B

13. [转化思想]如图，抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+1$、$y = -\frac{1}{2}x^{2}-1$与分别经过点$(-2,0)$，$(2,0)$且平行于$y$轴的两条平行线所围成的阴影部分的面积为（ ）

A. 8
B. 6
C. 10
D. 4

答案： A

14. 如图，抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+k$与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$\triangle ABC$是等腰直角三角形，求抛物线所对应的函数表达式.
　　　　　　　　　　

答案： 解:当$x = 0$时,$y = k$,
当$y = 0$时,$x=\pm\sqrt{2k}$,
$\therefore A(-\sqrt{2k},0)$,$B(\sqrt{2k},0)$,$C(0,k)$,
$\therefore OA = OB=\sqrt{2k}$,$OC = k$,
$\because\triangle ABC$为等腰直角三角形,
$\therefore OA = OC = OB$,
即$k=\sqrt{2k}$,
解得$k_{1}=2$,$k_{2}=0$(舍去),
$\therefore$抛物线所对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+2$.

15. [阅读与思考]已知抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}+1$具有如下性质：抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到$x$轴的距离相等. 根据该抛物线的这条性质解决下列问题：
(1) 如图，点$P$是第一象限内抛物线上的一点，且$\angle OFP = 120^{\circ}$，求点$P$的坐标.
(2) 点$M$是第二象限内抛物线上一动点，点$N$的坐标是$(-3,6)$，求$\triangle MNF$的周长的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)过点$P$作$PA\perp y$轴于点$A$,
设$P(m,\frac{1}{4}m^{2}+1)$,
则$PA = m$,$OA=\frac{1}{4}m^{2}+1$,
$\because F(0,2)$,$\therefore OF = 2$,
$\therefore FA=\frac{1}{4}m^{2}-1$.
$\because\angle OFP = 120^{\circ}$,
$\therefore\angle AFP = 60^{\circ}$,
$\therefore$在$Rt\triangle PFA$中,$PA=\sqrt{3}AF$,
即$m=\sqrt{3}(\frac{1}{4}m^{2}-1)$,
解得$m_{1}=2\sqrt{3}$,$m_{2}=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$.
$\because$点$P$在第一象限,
$\therefore m = 2\sqrt{3}$,
$\therefore P(2\sqrt{3},4)$.
(2)过点$M$作$MB\perp x$轴于点$B$,连结$NB$,
由题意知$MF = MB$,
$\because NF$长为定值,
$\therefore$当$MN + MF$的值最小,即$MN + MB$的值最小时,$\triangle MNF$的周长最小,
由两点之间线段最短和垂线段最短知,此时$NB\perp x$轴,$M$点为$NB$与抛物线的交点,
$\therefore MN + MB$的最小值为$NB$的长,为$6$,
又$FN=\sqrt{(-3 - 0)^{2}+(6 - 2)^{2}} = 5$,
$\therefore\triangle MNF$的周长的最小值为$11$.