《2025年53精准练九年级数学下册华师大版山西专版》

11.在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为$x(0 ＜ x ＜ 3)$的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式是_________.

答案： y = 9 - x²

12.[2024北京石景山区期末]如图，在矩形ABCD中，$AB = 10$，$BC = 5$，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动. P、Q两点同时出发，设点P运动的时间为t（单位：秒），$\triangle APQ$的面积为y.则y关于t的函数表达式为_________.

答案： y = $\frac{1}{2}$t(10 - 2t)

13.已知函数$y = -(m + 2)x^{m^{2} - 2}$（m为常数），当y是x的一次函数时，m的值为_________；当y是x的二次函数时，m的值为_________.

答案： ±$\sqrt{3}$;2

14.[2023晋中太谷区期末改编]某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系$m = 162 - 3x$.
(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式.
(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到450元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由.

答案： 解:
(1)由题意得，每件商品的销售利润为(x - 30)元，那么m件的销售利润为m(x - 30)元，
∵m = 162 - 3x，
∴y = (x - 30)(162 - 3x)，
即y = -3x² + 252x - 4860。
(2)不能，理由如下:
把y = 450代入y = -3x² + 252x - 4860，得-3x² + 252x - 4860 = 450，
化简得x² - 84x + 1770 = 0，
$\Delta$ = (-84)² - 4×1×1770 = -24＜0，
∴此方程无解，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到450元。

15.[分类讨论]如图，已知$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC = 8$cm，矩形MNPQ中，$MQ = NP = 9$cm，$MN = PQ = 2$cm，点P和点A重合，NP和AC在同一条直线上，$Rt\triangle ABC$不动，矩形MNPQ沿射线NP以每秒1 cm的速度向右移动，设移动$x(0 ＜ x \leq 9)$s时，矩形MNPQ与$\triangle ABC$重叠部分的面积为$y$cm²，求y与x之间的函数关系式.

答案：
解:运动过程中，重叠部分图形的形状在改变，重叠部分面积也随之变化，分三种情况讨论:
①当0＜x≤2时，如图1所示，重叠部分为等腰直角三角形，腰长为x cm，故y = $\frac{1}{2}$x²。

②当2＜x≤8时，如图2所示，重叠部分为直角梯形，梯形高为2 cm，下底长为x cm，上底长为(x - 2)cm，故y = $\frac{1}{2}$(x - 2 + x)·2 = 2x - 2。

③当8＜x≤9时，如图3所示，重叠部分为直角梯形，梯形高为2 cm，下底长为8 cm，上底长为8 - 2 = 6(cm)，故y = $\frac{1}{2}$×(6 + 8)×2 = 14。

综上，y = $\begin{cases}\frac{1}{2}x^{2}(0\lt x\leqslant2),\\2x - 2(2\lt x\leqslant8),\\14(8\lt x\leqslant9).\end{cases}$