《2025年53精准练九年级数学下册华师大版山西专版》

11.将抛物线$y = 2(x - 7)^2 - 4$向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到的抛物线所对应的函数表达式是（ ）
A. $y = 2(x - 8)^2 - 2$
B. $y = 2(x - 9)^2 - 5$
C. $y = -2(x - 6)^2 - 2$
D. $y = -2(x - 7)^2 - 4$

答案： A

12.将抛物线$y = -2(x + 1)^2 + 3$绕其顶点旋转$180^{\circ}$，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A. $y = 2(x + 1)^2 + 3$
B. $y = 2(x - 1)^2 + 3$
C. $y = 2(x - 1)^2 - 3$
D. $y = -2(x - 1)^2 - 3$

答案： A

13.已知$A(-2,y_1)$、$B(-1,y_2)$、$C(1,y_3)$是抛物线$y = -(x + \sqrt{3})^2 + 4$上的三个点，比较$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小：__________.(用“＞”连接)

答案： $y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$

14.[真实情境问题]某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子$OP$，柱子顶端$P$处装上喷头，由喷头向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下.如图，已知$OP = 3$米，喷出的水流的最高点$A$距水平面的高度是4米，离柱子$OP$的距离为1米.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)若不计其他因素，水池的半径应至少为多少米，才能使喷出的水流不落在池外?

答案：
(1)由题意可知$P(0, 3)$，抛物线的顶点坐标为(1, 4)，
设抛物线所对应的函数表达式为$y = a(x - 1)^2 + 4$，
把$P(0, 3)$代入上式得$3 = a(0 - 1)^2 + 4$，
解得$a = -1$，
$\therefore$抛物线所对应的函数表达式为$y = -(x - 1)^2 + 4$.
(2)当$y = 0$时，$0 = -(x - 1)^2 + 4$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$(舍去)，
$\therefore x = 3$.
答：水池的半径应至少为3米，才能使喷出的水流不落在池外.

15.[分类讨论]如图，抛物线$y = a(x + 1)^2 + k$的顶点为$A$，且经过点$B(1, 0)$，与$y$轴的交点$C$的纵坐标为-3.
(1)求顶点$A$的坐标.
(2)在$x$轴上是否存在点$M$，使$\triangle BCM$是等腰三角形？若存在，求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：

(1)根据题意得$\begin{cases}4a + k = 0\\a + k = -3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 1\\k = -4\end{cases}$，
$\therefore$抛物线所对应的函数表达式为$y = (x + 1)^2 - 4$，
$\therefore A(-1, -4)$.
(2)存在，分三种情况：
①当$BC = BM$时，
$\because BC=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$，
$\therefore BM=\sqrt{10}$，
$\therefore M_1(1 - \sqrt{10}, 0)$，$M_2(1 + \sqrt{10}, 0)$

②当$CB = CM$时，根据三线合一可得点$M$与点$B$关于$y$轴对称，
$\therefore M_3(-1, 0)$.
③当$MB = MC$时，设$M(m, 0)$，
则$MB^2=(m - 1)^2$，$MC^2 = m^2 + 9$，
$\therefore (m - 1)^2 = m^2 + 9$，
解得$m = -4$，
$\therefore M_4(-4, 0)$.
综上所述，点$M$的坐标为$(1 - \sqrt{10}, 0)$或$(1 + \sqrt{10}, 0)$或$(-1, 0)$或$(-4, 0)$.