《2025年53精准练九年级数学下册华师大版山西专版》

1. 用长为8 m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设AB长为x m，则窗户(窗框宽度忽略不计)的透光面积y(m²)关于x的函数表达式为 （ ）

A. $y = x(4 - x)$
B. $y = x(8 - 3x)$
C. $y=\frac{1}{2}x(8 - 3x)$
D. $y=\frac{1}{3}x(8 - 3x)$

答案： C

2. [2023东营一模]如图，在等边△ABC中，AB = 2，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A→C→B运动，过点D作AB的垂线，垂足为点E.设点D的运动时间为x秒，△ADE的面积为y(当A、D、E三点共线时，不妨令y = 0)，则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是 （ ）

答案： C

3. 将一块长20 m，宽14 m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加x m，设增加的面积是y m²，则y与x之间的函数关系式是__________.

答案： $y = x^{2}+34x$

4. [2024德州期末]如图，四边形ABCD中，AD = CD，AB = BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.由轴对称性质易得直线BD为线段AC的垂直平分线.若筝形ABCD的对角线AC，BD满足AC + BD = 6，求筝形ABCD的面积的最大值，并求此时AC的长.

答案： 解：设$AC$的长为$x$，筝形$ABCD$的面积为$y$，
则$y = S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}$
$=\frac{1}{2}AC\cdot OB+\frac{1}{2}AC\cdot OD$
$=\frac{1}{2}AC(OB + OD)$
$=\frac{1}{2}AC\cdot BD$，
$\therefore y=\frac{1}{2}x(6 - x)=-\frac{1}{2}x^{2}+3x=-\frac{1}{2}(x - 3)^{2}+\frac{9}{2}$.
$\because -\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$当$x = 3$时，$y_{最大值}=\frac{9}{2}$.
答：筝形$ABCD$的面积的最大值为$\frac{9}{2}$，此时$AC$的长为3.

5. [2023吕梁期末改编]在边长为44 cm的正方形硬纸板(如图1)的四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体的无盖盒子(如图2).设剪掉的小正方形的边长为x cm，无盖盒子的侧面积为S cm².
(1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围.
(2)求当x取何值时，S的值最大，并求出S的最大值.

答案： 解：
(1)由题意得无盖盒子的底面边长为$(44 - 2x)\text{cm}$，
$\therefore S = 4x(44 - 2x)=-8x^{2}+176x$.
由题意得$\begin{cases}44 - 2x＞0, \\x＞0, \end{cases}$
$\therefore 0＜x＜22$.
(2)由
(1)得$S=-8x^{2}+176x=-8(x - 11)^{2}+968$，
$\because -8＜0$，
$\therefore$当$x = 11$时，$S$的值最大，最大值为968.