《2025年学习探究诊断高中数学选择性必修第一册》

1. 已知过点$A(-2,m)$，$B(m,4)$的直线与直线$2x + y - 1 = 0$平行，则$m$的值为( )
（A）-8 （B）0 （C）2 （D）10

答案： A

2. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于( )
（A）$\frac{1}{3}$ （B）$\frac{\sqrt{3}}{3}$ （C）$\frac{1}{2}$ （D）$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： D

3. 经过圆$x^{2}+2x + y^{2}=0$的圆心$C$，且与直线$x + y = 0$垂直的直线的方程为( )
（A）$x + y + 1 = 0$ （B）$x + y - 1 = 0$
（C）$x - y + 1 = 0$ （D）$x - y - 1 = 0$

答案： C

4. 设抛物线$y^{2}=8x$的焦点为$F$，准线为$l$，$P$为抛物线上一点，$PA\perp l$，$A$为垂足．若直线$AF$的斜率为$-\sqrt{3}$，则$\vert PF\vert =(\ )
（A）$4\sqrt{3}$ （B）6 （C）8 （D）16

答案： C

5. 如图所示，在平面直角坐标系$xOy$中，点$B$，$C$分别在$x$轴和$y$轴非负半轴上，点$A$在第一象限，且$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = 4$，那么$O$，$A$两点间距离的( )
（A）最大值是$4\sqrt{2}$，最小值是 4
（B）最大值是 8，最小值是 4
（C）最大值是$4\sqrt{2}$，最小值是 2
（D）最大值是 8，最小值是 2

答案： A

6. 圆$x^{2}+(y - 2)^{2}=1$关于直线$y = -x$的对称圆的方程是______________．

答案： $(x + 2)^2 + y^2 = 1$

7. 过点$P(1,2)$，且与原点距离最大的直线的方程是______________．

答案： $x + 2y - 5 = 0$

8. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的离心率为 2，焦点与椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_______；渐近线方程为_________．

答案： $F(\pm4,0),y = \pm\sqrt{3}x$

9. 无论$a$取何值，直线$ax + y - a - 2 = 0$恒经过一个定点$P$，$P$的坐标为______________，经过点$P$且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________．

答案： $(1,2),2x - y = 0$或$x + y - 3 = 0$

10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线$C:x^{2}+y^{2}=1+\vert x\vert y$就是其中之一(如图)．下面有三个结论：
①曲线$C$恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线$C$上任意一点到原点的距离都不超过$\sqrt{2}$；
③曲线$C$所围成的“心形”区域的面积小于 3.
其中所有正确结论的序号是__________．

答案： ①②