《2025年学习探究诊断高中数学选择性必修第一册》

10. 空间四边形$OABC$中，$OB = OC,\angle AOB=\angle AOC=\frac{\pi}{3}$，则$\cos\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}\rangle$的值是__________.

答案： 0

三、解答题

答案：

11. 如图，在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\angle ACB = 90^{\circ},AC = CB = CC_{1}=2$，$E$是$AB$的中点.
（1）求证：$AB_{1}\perp$平面$A_{1}CE$；
（2）求直线$A_{1}C_{1}$与平面$A_{1}CE$所成角的正弦值.

答案： （1）证明：因为$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$是直三棱柱， 所以$CC_{1}\perp AC,CC_{1}\perp BC$。 又$\angle ACB = 90^{\circ}$， 即$AC\perp BC$。 如图所示，建立空间直角坐标系$Cxyz$。 $A(2,0,0),B_{1}(0,2,2),E(1,1,0),A_{1}(2,0,2)$， 所以$\overrightarrow{AB_{1}}=(-2,2,2),\overrightarrow{CE}=(1,1,0),\overrightarrow{CA_{1}}=(2,0,2)$。 又因为$\overrightarrow{AB_{1}}\cdot\overrightarrow{CE}=0,\overrightarrow{AB_{1}}\cdot\overrightarrow{CA_{1}}=0$， 所以$AB_{1}\perp CE,AB_{1}\perp CA_{1},AB_{1}\perp$平面$A_{1}CE$。 （2）解：由（1）知，$\overrightarrow{AB_{1}}=(-2,2,2)$是平面$A_{1}CE$的法向量，$\overrightarrow{C_{1}A_{1}}=\overrightarrow{CA}=(2,0,0)$， 则$\vert\cos\langle\overrightarrow{C_{1}A_{1}},\overrightarrow{AB_{1}}\rangle\vert=\frac{\vert\overrightarrow{C_{1}A_{1}}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}\vert}{\vert\overrightarrow{C_{1}A_{1}}\vert\vert\overrightarrow{AB_{1}}\vert}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 设直线$A_{1}C_{1}$与平面$A_{1}CE$所成的角为$\theta$，则$\sin\theta=\vert\cos\langle\overrightarrow{C_{1}A_{1}},\overrightarrow{AB_{1}}\rangle\vert=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 所以直线$A_{1}C_{1}$与平面$A_{1}CE$所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

12. 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$PA\perp$平面$ABCD$，且$AD// BC,\angle ABC = 90^{\circ},PA = 3$，$AD = 2,AB = 2\sqrt{3},BC = 6$.
（1）求证：$BD\perp$平面$PAC$；
（2）求二面角$P - BD - A$的大小.

答案： （1）证明：如图，以$A$为原点建立空间直角坐标系， 则$A(0,0,0),B(2\sqrt{3},0,0),C(2\sqrt{3},6,0),D(0,2,0),P(0,0,3)$， 所以$\overrightarrow{AP}=(0,0,3),\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{3},6,0),\overrightarrow{BD}=(-2\sqrt{3},2,0)$， 所以$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AP}=0,\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}=0$。 所以$BD\perp AP,BD\perp AC$， 又$PA\cap AC = A$，所以$BD\perp$平面$PAC$。 （2）解：设平面$ABD$的法向量为$\boldsymbol{m}=(0,0,1)$， 设平面$PBD$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$， 因为$\overrightarrow{BP}=(2\sqrt{3},0,-3)$， 则$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BP}=0,\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BD}=0$，所以$\begin{cases}-2\sqrt{3}x + 3z = 0\\-2\sqrt{3}x + 2y = 0\end{cases}$， 令$z = 1$，解得$x=\frac{\sqrt{3}}{2},y=\frac{3}{2}$，所以$\boldsymbol{n}=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},1)$。 $\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}}{\vert\boldsymbol{m}\vert\vert\boldsymbol{n}\vert}=\frac{1}{2}$。 因为二面角$P - BD - A$为锐角， 所以二面角$P - BD - A$的大小为$60^{\circ}$。