《2025年学习探究诊断高中数学选择性必修第一册》

13. 已知抛物线$C:y^{2}=12x$，点$M(-1,0)$，过$M$的直线$l$交抛物线$C$于$A$，$B$两点．
- (1)若线段$AB$的中点的横坐标等于$2$，求直线$l$的斜率；
- (2)设点$A$关于$x$轴的对称点为$A'$，求证：直线$A'B$过定点．

答案： -
(1)解：设过点 $M(-1,0)$ 的直线方程为 $y = k(x + 1)$，由 $\begin{cases}y = k(x + 1)\\y^{2}=12x\end{cases}$ 得 $k^{2}x^{2}+(2k^{2}-12)x + k^{2}=0$。因为 $k^{2}\neq0$，且 $\Delta=(2k^{2}-12)^{2}-4k^{4}=144 - 48k^{2}＞0$，所以，$k\in(-\sqrt{3},0)\cup(0,\sqrt{3})$。设 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则 $x_{1}+x_{2}=\frac{12 - 2k^{2}}{k^{2}}$，$x_{1}x_{2}=1$。因为线段 $AB$ 的中点的横坐标等于 2，所以 $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{6 - k^{2}}{k^{2}}=2$，解得 $k=\pm\sqrt{2}$，符合题意。 -
(2)证明：依题意 $A'(x_{1},-y_{1})$，直线 $A'B:y - y_{2}=\frac{y_{2}+y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x - x_{2})$，又 $y_{1}^{2}=12x_{1}$，$y_{2}^{2}=12x_{2}$，所以 $y=\frac{12}{y_{2}-y_{1}}(x - x_{2})+y_{2}=\frac{12}{y_{2}-y_{1}}x-\frac{y_{1}y_{2}}{y_{2}-y_{1}}$，因为 $y_{1}^{2}y_{2}^{2}=144x_{1}x_{2}=144$，且 $y_{1}$，$y_{2}$ 同号，所以 $y_{1}y_{2}=12$，所以 $y=\frac{12}{y_{2}-y_{1}}(x - 1)$，所以，直线 $A'B$ 恒过定点 $(1,0)$。