《2025年学习探究诊断高中数学选择性必修第一册》

1. 在空间直角坐标系中，给出以下五个命题，其中不正确的命题的个数为（ ）
①$|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$是$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共线的充要条件；
②若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则存在唯一的实数$\lambda$，使$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$；
③$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0,\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=0$，则$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{c}$；
④若$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$为空间的一个基底，则$\{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}\}$构成空间的另一基底；
⑤$|(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}| = |\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{b}|\cdot|\boldsymbol{c}|$.
（A）2 个
（B）3 个
（C）4 个
（D）5 个

答案： C

2. 已知在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\angle ABC = 90^{\circ},AB = 2,BC = CC_{1} = 1$，则异面直线$AB_{1}$与$BC_{1}$所成角的余弦值为（ ）
（A）$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（B）$\frac{\sqrt{10}}{10}$
（C）$\frac{\sqrt{10}}{5}$
（D）$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： B

3. 若空间向量$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}+\boldsymbol{e}_{3},\boldsymbol{b}=\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{e}_{3},\boldsymbol{c}=\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{d}=\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}+3\boldsymbol{e}_{3}(\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\}$为空间的一个基底），且$\boldsymbol{d}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}$，则实数$x,y,z$分别为（ ）
（A）$\frac{5}{2},-\frac{1}{2},-1$
（B）$\frac{5}{2},\frac{1}{2},1$
（C）$-\frac{5}{2},\frac{1}{2},1$
（D）$\frac{5}{2},-\frac{1}{2},1$

答案： A

4. 已知$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$是非零空间向量且满足$(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a},(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\perp\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角是（ ）
（A）$\frac{\pi}{6}$
（B）$\frac{\pi}{3}$
（C）$\frac{2\pi}{3}$
（D）$\frac{5\pi}{6}$

答案： B

5. 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）
（A）$BD$与$CF$成$60^{\circ}$
（B）$BD$与$EF$成$60^{\circ}$
（C）$AB$与$CD$成$60^{\circ}$
（D）$AB$与$EF$成$60^{\circ}$

答案： C