《2025年学习探究诊断高中数学选择性必修第一册》

1. 点$P(x,y)$在直线$x + y - 4 = 0$上，$O$为坐标原点，则$\vert OP\vert$的最小值为( )
- (A)$\sqrt{10}$
- (B)$2\sqrt{2}$
- (C)$\sqrt{6}$
- (D)$2$

答案： B

2. 过原点的直线与圆$x^{2}+y^{2}+4x + 3 = 0$相切，若切点在第二象限，则该直线的方程是( )
- (A)$y=\sqrt{3}x$
- (B)$y=-\sqrt{3}x$
- (C)$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$
- (D)$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x$

答案： D

3. 已知抛物线关于$x$轴对称，它的顶点在坐标原点$O$，并且经过点$M(2,y_{0})$．若点$M$到该抛物线焦点的距离为$3$，则$\vert OM\vert =(\ )
- (A)$2\sqrt{2}$
- (B)$2\sqrt{3}$
- (C)$4$
- (D)$2\sqrt{5}$

答案： B

4. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$的焦距为$10$，点$P(2,1)$在$C$的渐近线上，则$C$的方程为( )
- (A)$\frac{x^{2}}{20}-\frac{y^{2}}{5}=1$
- (B)$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{20}=1$
- (C)$\frac{x^{2}}{80}-\frac{y^{2}}{20}=1$
- (D)$\frac{x^{2}}{20}-\frac{y^{2}}{80}=1$

答案： A

5. 曲线$C$为到定点$M(-2,0)$和$N(2,0)$的距离的乘积为常数$16$的动点$P$的轨迹．以下结论中正确结论的个数为( )
- ①曲线$C$一定经过原点；
- ②曲线$C$关于$x$轴对称，但不关于$y$轴对称；
- ③$\triangle MPN$的面积不大于$8$；
- ④曲线$C$在一个面积为$60$的矩形范围内．
- (A)$0$个
- (B)$1$个
- (C)$2$个
- (D)$3$个

答案： B

6. 若直线$x - 2y + 5 = 0$与直线$2x + my - 6 = 0$互相平行，则实数$m$等于__________．

答案： $-4$

7. 平面内的一条线段$\vert AB\vert = 6$，动点$P$满足$\vert PA\vert+\vert PB\vert = 10$，则$\vert PA\vert$的最大值与最小值之积为__________．

答案： 16

8. 记双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt0,b\gt0)$的离心率为$e$，写出满足条件“直线$y = 2x$与$C$无公共点”的$e$的一个值__________．

答案： 答案不唯一，如 2（注：$e\in(1,\sqrt{5}]$ 皆可）

9. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$B$与点$A(-1,1)$关于原点$O$对称，$P$是动点，且直线$AP$与$BP$的斜率之积等于$-\frac{1}{3}$，则动点$P$的轨迹方程为____________________．

答案： $x^{2}+3y^{2}=4(x\neq\pm1)$