《2025年学习探究诊断高中数学选择性必修第一册》

14. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt0,b\gt0)$的右顶点为$A(1,0)$，左焦点为$F$，离心率为$2$.
- (1)求双曲线$C$的方程；
- (2)若在双曲线$C$上，有且只有两个不同的点$P$使得$\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PA}=\lambda$成立，求实数$\lambda$的取值范围.

答案： 解： -
(1)由题意，得 $a = 1$，由 $\frac{c}{a}=2$，得 $c = 2$，所以 $b^{2}=c^{2}-a^{2}=3$。故双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$。 -
(2)方法一：设 $P(x,y)$，由 $F(-2,0)$，$A(1,0)$，得 $\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PA}=(-2 - x,-y)\cdot(1 - x,-y)=\lambda$，即 $(x+\frac{1}{2})^{2}+y^{2}=\lambda+\frac{9}{4}$，所以点 $P$ 在以点 $(-\frac{1}{2},0)$ 为圆心，半径 $r=\sqrt{\lambda+\frac{9}{4}}$ 的圆 $W$ 上，又因为点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，所以圆 $W$ 与双曲线 $C$ 有且只有两个交点。数形结合知 $\frac{1}{2}＜r＜\frac{3}{2}$，解得 $\lambda\in(-2,0)$。 - 方法二：设 $P(x_{0},y_{0})$，$x_{0}\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$，由 $F(-2,0)$，$A(1,0)$，得 $\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PA}=(-2 - x_{0},-y_{0})\cdot(1 - x_{0},-y_{0})=\lambda$，即 $x_{0}^{2}+x_{0}-2 + y_{0}^{2}=\lambda$，又因为 $x_{0}^{2}-\frac{y_{0}^{2}}{3}=1$，所以 $4x_{0}^{2}+x_{0}-5-\lambda=0$。（$*$）设函数 $f(x)=4x^{2}+x - 5-\lambda$，$x\in(-\infty - 1]\cup[1,+\infty)$，由题意，知“在双曲线 $C$ 上，有且只有两个不同的点 $P$ 使得 $\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PA}=\lambda$ 成立”等价于“方程（$*$）有且仅有一解（根 $x=\pm1$ 单独考虑）”（根据双曲线 $C$ 的对称性可得），也等价于“函数 $f(x)$ 有一个零点”。因为二次函数 $f(x)$ 开口向上，对称轴为 $x = -\frac{1}{8}$，所以 $\begin{cases}f(-1)＜0\\f(1)＞0\end{cases}$，即 $\begin{cases}-2-\lambda＜0\\-\lambda＞0\end{cases}$，解得 $\lambda\in(-2,0)$。