《2025年学习探究诊断高中数学选择性必修第一册》

11. 已知抛物线$y^{2}=2px(p＞0)$的焦点$F$为椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$的一个焦点，直线$l$经过$F$且与抛物线相交于$A$，$B$两点.
(1)求$p$的值；
(2)若直线$l$的倾斜角为$60^{\circ}$，求$\vert AB\vert$的值.

答案： 解：
(1)由题意得点$F$的坐标为$(3,0)$，所以$p = 6$，因此抛物线的方程为$y^2 = 12x$。
(2)因为直线$l$的倾斜角为$60^{\circ}$，所以其斜率$k = \tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。 又$F(3,0)$，所以直线$l$的方程为$y = \sqrt{3}(x - 3)$。联立$\begin{cases}y^2 = 12x\\y = \sqrt{3}(x - 3)\end{cases}$， 消去$y$得$x^2 - 10x + 9 = 0$。 若设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$x_1 + x_2 = 10$， 而$\vert AB\vert=\vert AF\vert+\vert BF\vert=x_1+\frac{p}{2}+x_2+\frac{p}{2}=x_1 + x_2 + p$， 所以$\vert AB\vert = 10 + 6 = 16$。

12. 已知圆$C$的圆心在直线$2x - y - 10 = 0$上，且经过点$A(2,\sqrt{7})$，$B(8,\sqrt{7})$.
(1)求圆$C$的标准方程；
(2)过坐标原点作圆$C$的切线$l$，求切线$l$的方程．

答案： 解：
(1)设圆心$M(x_0,y_0)$，由题意可知，圆心应在线段$AB$的中垂线上，该中垂线方程为$x = 5$。 由$\begin{cases}x = 5\\2x - y - 10 = 0\end{cases}$，得圆心$M(5,0)$，所以半径$r = 4$。 所以圆的标准方程为$(x - 5)^2 + y^2 = 16$。
(2)方法一： 直线$OP,OQ$与圆$M$相切于点$P,Q$，由$OM = 5,PM = 4$可知$OP = 3$， 所以$k_{OP}=\tan\angle POB=\frac{PM}{OP}=\frac{4}{3}$。 由点斜式可得直线$OP$的方程为$y = \frac{4}{3}x$， 同理可得直线$OQ$方程为$y = -\frac{4}{3}x$。 方法二： 设切线方程为$y = kx$，由切线定义，其与圆$M$的方程联立所得的方程组应有唯一解， 即$\begin{cases}y = kx\\(x - 5)^2 + y^2 = 16\end{cases}\Rightarrow(1 + k^2)x^2 - 10x + 9 = 0$有唯一解。 所以$\Delta = 100 - 36(1 + k^2)=0$，即：$k = \pm\frac{4}{3}$。 所以所求切线方程为$y = \pm\frac{4}{3}x$。