《2025年学习探究诊断高中数学选择性必修第一册》

14. 如图，在四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，侧棱$AA_{1}\perp$底面$ABCD$，$AB\perp AC$，$AB = 1$，$AC = AA_{1} = 2,AD = CD=\sqrt{5}$，且点$M$和$N$分别为$B_{1}C$和$D_{1}D$的中点.
（1）求证：$MN//$平面$ABCD$；
（2）求平面$ACD_{1}$与平面$ACB_{1}$所成的锐二面角的余弦值；
（3）设$E$为棱$A_{1}B_{1}$上的点，若直线$NE$和平面$ABCD$所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$，求线段$A_{1}E$的长.

答案：
(1)证明：方法一：取$BC$中点$P$，连接$MP,DP$， 因为$M$是$B_1C$中点，所以$MP// BB_1,MP=\frac{1}{2}BB_1$， 又因为$N$是$DD_1$中点，所以$DN=\frac{1}{2}DD_1$， 在四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$BB_1// DD_1,BB_1 = DD_1$， 所以$MP// DN$，且$MP = DN$。 所以四边形$NDPM$是平行四边形，所以$MN// DP$， 又因为$MN\not\subset$平面$ABCD,DP\subset$平面$ABCD$，所以$MN//$平面$ABCD$。 方法二：如图， 以$A$为坐标原点，以$AC,AB,AA_1$所在直线分别为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系$Axyz$。 则$A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0)$， $A_1(0,0,2),B_1(0,1,2),C_1(2,0,2),D_1(1,-2,2)$， 又因为$M,N$分别为$B_1C,D_1D$的中点， 所以$M(1,\frac{1}{2},1),N(1,-2,1)$。 由题可知：$\boldsymbol{n}_0=(0,0,1)$是平面$ABCD$的一个法向量，$\overrightarrow{MN}=(0,-\frac{5}{2},0)$， 因为$\boldsymbol{n}_0\cdot\overrightarrow{MN}=0$，所以$\boldsymbol{n}_0\perp\overrightarrow{MN}$。 又因为$MN\not\subset$平面$ABCD$，所以$MN//$平面$ABCD$。
(2)解：由
(1)可知：$\overrightarrow{AD_1}=(1,-2,2),\overrightarrow{AC}=(2,0,0),\overrightarrow{AB_1}=(0,1,2)$。 设$\boldsymbol{m}=(x_1,y_1,z_1)$是平面$ACD_1$的一个法向量， 由$\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AD_1}=0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}$，得$\begin{cases}x_1 - 2y_1 + 2z_1 = 0\\2x_1 = 0\end{cases}$，令$z_1 = 1$，得$\boldsymbol{m}=(0,1,1)$。 设$\boldsymbol{n}=(x_2,y_2,z_2)$是平面$ACB_1$的一个法向量， 由$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB_1}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}$，得$\begin{cases}y_2 + 2z_2 = 0\\2x_2 = 0\end{cases}$，令$z_2 = 1$，得$\boldsymbol{n}=(0,-2,1)$。 因为$\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$， 所以平面$ACD_1$与平面$ACB_1$所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$。
(3)解：由题意可设$\overrightarrow{A_1E}=\lambda\overrightarrow{A_1B_1}$，其中$\lambda\in[0,1]$， 所以$E$坐标为$(0,\lambda,2),\overrightarrow{NE}=(-1,\lambda + 2,1)$。 又因为$\boldsymbol{n}_0=(0,0,1)$是平面$ABCD$的一个法向量， 所以$\cos\langle\overrightarrow{NE},\boldsymbol{n}_0\rangle=\frac{\overrightarrow{NE}\cdot\boldsymbol{n}_0}{|\overrightarrow{NE}||\boldsymbol{n}_0|}=\frac{1}{\sqrt{(-1)^2+(\lambda + 2)^2+1^2}}=\frac{1}{3}$， 整理，得$\lambda^2 + 4\lambda - 3 = 0$，解得$\lambda=\sqrt{7}-2$或$-2-\sqrt{7}$（舍）， 所以线段$A_1E$的长为$\sqrt{7}-2$。