《2025年学习探究诊断高中数学选择性必修第一册》

14. 已知椭圆$E:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的两个顶点分别为$A(-2,0)$，$B(2,0)$，离心率$e = \frac{1}{2}$，$P(x_{0},y_{0})(y_{0}\neq0)$为椭圆上的动点，直线$PA$，$PB$分别交动直线$x = t$于点$C$，$D$，过点$C$作$PB$的垂线交$x$轴于点$H$.
(1)求椭圆$E$的方程；
(2)$\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{HD}$是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

答案： 解：
(1)由题设，$\begin{cases}a = 2\\\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\a^2 = b^2 + c^2\end{cases}$， 解得$c = 1,b^2 = 3$， 所以椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。
(2)由题意得，直线$PA$为$y = \frac{y_0}{x_0 + 2}(x + 2)$， 代入$x = t$，得$y_C=\frac{(t + 2)y_0}{x_0 + 2}$。 因为直线$PB$为$y = \frac{y_0}{x_0 - 2}(x - 2)$， 同理可得$D(t,\frac{(t - 2)y_0}{x_0 - 2})$。 由$CH\perp PB$得直线$CH:y-\frac{(t + 2)y_0}{x_0 + 2}=\frac{2 - x_0}{y_0}(x - t)$， 代入$y = 0$，得$x_H=t+\frac{(t + 2)y_0^2}{x_0^2 - 4}$， 由$P(x_0,y_0)$在椭圆$E$上，得$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$，整理得$y_0^2=\frac{3(4 - x_0^2)}{4}$， 所以$x_H=t-\frac{3}{4}(t + 2)=\frac{t - 6}{4}$，从而可得$H(\frac{t - 6}{4},0)$。 所以$\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{HD}=(\frac{3t + 6}{4},\frac{(t + 2)y_0}{x_0 + 2})\cdot(\frac{3t + 6}{4},\frac{(t - 2)y_0}{x_0 - 2})=\frac{(3t + 6)^2}{16}+\frac{(t^2 - 4)y_0^2}{x_0^2 - 4}$ $=\frac{(3t + 6)^2}{16}-\frac{3(t^2 - 4)}{4}=-\frac{3(t - 6)^2}{16}+12$。 综上，存在$t = 6$，使得$\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{HD}$有最大值$12$。