《2025年学习探究诊断高中数学选择性必修第一册》

13. 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$PD\perp$平面$ABCD$，$AD\perp DC$，$AB// DC$，$AB=\frac{1}{2}DC$，$PD = AD = 1$，$M$为棱$PC$的中点.
（1）求证：$BM//$平面$PAD$；
（2）从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角$P - DM - B$的余弦值.
条件①：$PB=\sqrt{3}$；
条件②：$BD\perp BC$.

答案： （1）证明：取$PD$中点$N$，连接$AN,MN$。 在$\triangle PCD$中，$M,N$分别为$PC,PD$的中点，所以$MN// DC,MN=\frac{1}{2}DC$， 因为$AB// DC,AB=\frac{1}{2}DC$， 所以$AB// MN,AB = MN$。 所以四边形$ABMN$为平行四边形，因此$BM// AN$。 又因为$BM\not\subset$平面$PAD,AN\subset$平面$PAD$， 所以$BM//$平面$PAD$。 （2）解：选择条件①： 因为$PD\perp$平面$ABCD,AD,DC\subset$平面$ABCD$， 所以$PD\perp AD,PD\perp DC$。又因为$AD\perp DC$， 所以建立如图空间直角坐标系$Dxyz$。 因为$PD\perp$平面$ABCD,BD\subset$平面$ABCD$， 所以$PD\perp BD$。 所以在$Rt\triangle PBD$中，$PD = 1,PB=\sqrt{3}$，可得$BD=\sqrt{2}$。 在$Rt\triangle ABD$中，$AD = 1,BD=\sqrt{2}$，所以$AB = 1$，又因为$AB=\frac{1}{2}DC$，所以$DC = 2$。 由题意得$D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1),M(0,1,\frac{1}{2})$， 所以$\overrightarrow{DA}=(1,0,0),\overrightarrow{DM}=(0,1,\frac{1}{2}),\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$。 设平面$BDM$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$， 所以$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DM}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DB}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}y+\frac{1}{2}z = 0\\x + y = 0\end{cases}$。 令$y = - 1$，则$x = 1,z = 2$。 所以平面$BDM$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(1,-1,2)$。 易知$\overrightarrow{DA}$为平面$PDM$的一个法向量。 所以$\cos\langle\boldsymbol{n},\overrightarrow{DA}\rangle=\frac{\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DA}}{\vert\boldsymbol{n}\vert\vert\overrightarrow{DA}\vert}=\frac{1}{\sqrt{6}\times1}=\frac{\sqrt{6}}{6}$。 因为二面角$P - DM - B$为钝角，所以二面角$P - DM - B$的余弦值为$-\frac{\sqrt{6}}{6}$。 选择条件②： 因为$PD\perp$平面$ABCD,AD,DC\subset$平面$ABCD$，所以$PD\perp AD,PD\perp DC$，又因为$AD\perp DC$，所以建立如图空间直角坐标系$Dxyz$。 取$CD$的中点$E$，连接$BE$。 因为$AB// DC,AB=\frac{1}{2}DC$，所以$AB// DE,AB = DE$， 又因为$AD\perp DC$，所以四边形$ABED$为矩形。 在$\triangle BCD$中，因为$BD\perp BC$，所以$BE=\frac{1}{2}DC$。 又因为$AB=\frac{1}{2}DC$，所以$AB = BE$。 所以四边形$ABED$为正方形，即$AB = AD = 1,DC = 2$。 由题意得$D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1),M(0,1,\frac{1}{2})$， 所以$\overrightarrow{DA}=(1,0,0),\overrightarrow{DM}=(0,1,\frac{1}{2}),\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$。 设平面$BDM$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$， 所以$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DM}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DB}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}y+\frac{1}{2}z = 0\\x + y = 0\end{cases}$。 令$y = - 1$，则$x = 1,z = 2$。 所以平面$BDM$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(1,-1,2)$。 易知$\overrightarrow{DA}$为平面$PDM$的一个法向量。 所以$\cos\langle\boldsymbol{n},\overrightarrow{DA}\rangle=\frac{\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DA}}{\vert\boldsymbol{n}\vert\vert\overrightarrow{DA}\vert}=\frac{1}{\sqrt{6}\times1}=\frac{\sqrt{6}}{6}$。 因为二面角$P - DM - B$为钝角，所以二面角$P - DM - B$的余弦值为$-\frac{\sqrt{6}}{6}$。