《2025年学习探究诊断高中数学选择性必修第一册》

13. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的一个焦点为$F(-1,0)$，顶点$A_{1}(-a,0)$，$A_{2}(a,0)$，且$\vert A_{2}F\vert = 3$.
(1)求椭圆$C$的方程；
(2)过点$F$的直线交椭圆$C$于点$M$，$N$. 记$\triangle A_{1}MN$和$\triangle A_{2}MN$的面积分别为$S_{1}$和$S_{2}$.
当$S_{2}-S_{1}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$时，求直线$MN$的方程.

答案： 解：
(1)依题意，椭圆$C$的半焦距$c = 1$， 所以$\vert A_2F\vert = a + c = 3$。 解得$a = 2$。 所以$b^2 = a^2 - c^2 = 3$。 所以椭圆$C$的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。
(2)当直线$MN$的斜率不存在时，其方程为$x = -1$。 此时$M(-1,\frac{3}{2}),N(-1,-\frac{3}{2})$，或$M(-1,-\frac{3}{2}),N(-1,\frac{3}{2})$。 所以$S_1=\frac{3}{2},S_2=\frac{9}{2}$，即$S_2 - S_1 = 3$，不合题意。 当直线$MN$的斜率存在时，设其方程为$y = k(x + 1)(k\neq0)$。 由$\begin{cases}y = k(x + 1)\\3x^2 + 4y^2 = 12\end{cases}$得$(3 + 4k^2)x^2 + 8k^2x + 4k^2 - 12 = 0$。 设$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则$x_1 + x_2 = -\frac{8k^2}{3 + 4k^2},x_1x_2 = \frac{4k^2 - 12}{3 + 4k^2}$。 因为$S_1=\frac{1}{2}\vert A_1F\vert(\vert y_1\vert+\vert y_2\vert),S_2=\frac{1}{2}\vert A_2F\vert(\vert y_1\vert+\vert y_2\vert)$， 所以$S_2 - S_1=\frac{1}{2}\times2\times(\vert y_1\vert+\vert y_2\vert)=\vert y_1 - y_2\vert=\vert k(x_1 - x_2)\vert$ $=\vert k\vert\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$ $=\frac{12\vert k\vert\sqrt{k^2 + 1}}{3 + 4k^2}$。 令$\frac{12\vert k\vert\sqrt{k^2 + 1}}{3 + 4k^2}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$，解得$k = \pm1$。 所以直线$MN$的方程为$x - y + 1 = 0$，或$x + y + 1 = 0$。