《2024年练习部分九年级数学上册沪教版54制》

6. 如图,已知平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是边 DC、AB 的中点,AE、CF 与对角线 BD 分别交于点 G、H,设$ \overrightarrow{AF}= \overrightarrow{a} $,$ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{b} $.
(1)试用$ \overrightarrow{a}、\overrightarrow{b} 分别表示向量 \overrightarrow{GH}、\overrightarrow{GE} $.
(2)作出向量$ \overrightarrow{DH} 分别在 \overrightarrow{a}、\overrightarrow{b} $方向上的分向量.

答案：
$ 解：(1)\because 四边形ABCD是平行四边形，$
$ \therefore CD=AB，CD//AB，$
$ \because DE=CE，AF=FB，$
$ \therefore CE=AF，CE//AF，$
$ \therefore 四边形AECF是平行四边形，\therefore AE//CF，$
$ \because EG∥CH，DE=EC，$
$ \therefore DG=GH，同理可证BH=GH，\therefore DG=GH=HB，$
$ \because \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}，$
$ \therefore \overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{b}，AB=2\overrightarrow{a}，$
$ \therefore \overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}，$
$ \therefore \overrightarrow{GH}=\overrightarrow{DG}=\frac {1}{3}\overrightarrow{BD}=\frac {2}{3}\overrightarrow{a}-\frac {1}{3}\overrightarrow{b}，$
$ \because \overrightarrow{GE}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{GD}=\frac {1}{3}\overrightarrow{b}-\frac {2}{3}\overrightarrow{a}，\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{a}，$
$ \therefore \overrightarrow{GE}=\frac {1}{3}\overrightarrow{b}+\frac {1}{3}\overrightarrow{a}.$
$ (2)如图所示，\overrightarrow{DQ}，\overrightarrow{DP}即为所求.$

7. 如图,$ \triangle ABC $表示一块直角三角形空地,$ \angle ABC= 90^\circ $,边 AB= 80 分米,BC= 60 分米. 现要在空地内划出一个正方形区域建造水池,这个正方形的四个顶点必须在$ \triangle ABC $的边上. 请你在图中画出一个符合要求的正方形,并求这个正方形的面积. 再想一想,怎样设计才能使划出的正方形区域的面积最大？

答案：
$ 解：如图，设正方形BDEF的边长为x分米，则AD=(80-x)分米.$

$ 根据勾股定理得：AC=\sqrt{{AB}^2{+BC}^2}=100分米.$
$ ∵DE//BC，$
$ ∴△ADE∽△ABC，$
$ ∴\frac {AD}{AB}=\frac {DE}{BC}，$
$ ∴\frac {80-x}{80}=\frac {x}{60}，$
$ ∴x=\frac {240}{7}$
$ 这样设计正方形区域的面积是最大的$