20. (本小题满分14分)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1≤a≤3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.

　　　　 由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程:

　　　 解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3.

　 因为当,故方案乙的用水量较少.

(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似(I)得

，(*)

于是+

　　　　　 当为定值时,,

　　　　　 当且仅当时等号成立.此时

　　　　　 将代入(*)式得

　　　　　 故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为

　　　　　 ,　　 最少总用水量是.

　　　　　 当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.

19. (本小题满分14分)已知函数,

数列{}满足:

证明: (I)．;　　

(II)．.

证明: (I)．先用数学归纳法证明，n＝1,2,3,…

　　　　　 (i).当n=1时,由已知显然结论成立.

　　　　　 (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0<x<1时

,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,

从而.故n=k+1时,结论成立.

由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立.

又因为时，，

所以，综上所述．

(II)．设函数，．由(I)知，当时，，

　　从而

所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0,

　 所以当时，g (x)>0成立.于是．

　　　　故．

18. (本小题满分14分)如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1

和2,AB=4.　　 (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;　　 (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

解法一：　(Ⅰ)．连结AC、BD，设.由P－ABCD与Q－ABCD

都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.

　　　　　 (II)由题设知，ABCD是正方形，所以．由(I)，平面，故可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系(如上图)，由题设条件，相关各点的坐标分别是，，

所以,,于是

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ)．由(Ⅱ)，点D的坐标是(0，－，0)，，　　　　　

，设是平面QAD的一个法向量，

由　　 得.

取x=1，得.　所以点P到平面QAD的距离.

解法二：　(Ⅰ)．取AD的中点M，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD

都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

(Ⅱ)．连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在

PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.

取OC的中点N，连结PN．

因为，所以，

从而AQ∥PN.∠BPN(或其补角)是异面直线AQ

与PB所成的角.连接BN，

因为．

所以．

从而异面直线AQ与PB所成的角是．

(Ⅲ)．由(Ⅰ)知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD. 过P作PH⊥QM

于H，则PH⊥平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离．

连结OM，则.所以，

又PQ＝PO+QO＝3，于是.

即点P到平面QAD的距离是.

17.(本小题满分12分)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):

(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;

(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;

(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.

　解：(Ⅰ)．每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.

所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是

.

(Ⅱ)．由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5).从而的数学期望是

　　 　　E＝，即平均有2.50家煤矿必须整改.

(Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是

文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分12分)如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,

记∠CAD=,∠ABC=.

(1)．证明 ;

(2)．若AC=DC,求的值.

解：(1)．如图3，，

　　 　即．

(2)．在中，由正弦定理得

　　由(1)得，

　　即．

1]1. 　　　[1]2. 5　　 [1]3. 　　　[1]4. 　　15. ，

21．(本小题满分14分)

　 已知椭圆, 抛物线, 且的公共弦

　过椭圆的右焦点 .

　 (Ⅰ) 当, 求的值, 并判断抛物线的焦点是否在直线上;

　 (Ⅱ) 是否存在的值, 使抛物线的焦点恰在直线上? 若存在, 求出符合条件的的值; 若不存在, 请说明理由 .

答案： DADAB　 DACCB

20．(本小题满分14分)

　 对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:

为, 要求清洗完后的清洁度为.　 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗;　 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,

其中是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

19．(本小题满分14分)

　 已知函数, 数列满足: ,

　 证明 (Ⅰ) 　;　 (Ⅱ) 　.

18. (本小题满分14分)

如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2,

(Ⅰ) 证明: 　;　　 (Ⅱ) 求异面直线所成的角;

(Ⅲ) 求点到平面的距离.