19. (本小题满分14分)已知函数,

数列{}满足:

证明: (I)．;　　

(II)．.

证明: (I)．先用数学归纳法证明，n＝1,2,3,…

　　　　　 (i).当n=1时,由已知显然结论成立.

　　　　　 (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0<x<1时

,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,

从而.故n=k+1时,结论成立.

由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立.

又因为时，，

所以，综上所述．

(II)．设函数，．由(I)知，当时，，

　　从而

所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0,

　 所以当时，g (x)>0成立.于是．

　　　　故．