18. (本小题满分14分)如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1

和2,AB=4.　　 (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;　　 (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

解法一：　(Ⅰ)．连结AC、BD，设.由P－ABCD与Q－ABCD

都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.

　　　　　 (II)由题设知，ABCD是正方形，所以．由(I)，平面，故可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系(如上图)，由题设条件，相关各点的坐标分别是，，

所以,,于是

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ)．由(Ⅱ)，点D的坐标是(0，－，0)，，　　　　　

，设是平面QAD的一个法向量，

由　　 得.

取x=1，得.　所以点P到平面QAD的距离.

解法二：　(Ⅰ)．取AD的中点M，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD

都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

(Ⅱ)．连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在

PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.

取OC的中点N，连结PN．

因为，所以，

从而AQ∥PN.∠BPN(或其补角)是异面直线AQ

与PB所成的角.连接BN，

因为．

所以．

从而异面直线AQ与PB所成的角是．

(Ⅲ)．由(Ⅰ)知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD. 过P作PH⊥QM

于H，则PH⊥平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离．

连结OM，则.所以，

又PQ＝PO+QO＝3，于是.

即点P到平面QAD的距离是.