《2025年初中同步学习目标与检测八年级数学上册人教版》

| 推导过程 | $(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$ |
| 符号表示 | $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ |
| 文字叙述 | 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差 |
| 结构特征 | ①等号左边是两个二项式相乘,且这两个二项式中有一项相同,另一项互为相反数；
②等号右边是乘式中两项的平方差(即相同项的平方减去互为相反数的项的平方) |

答案： 平方差公式为$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，表示两数和与差的积等于这两数平方差。

 【教材素材重现】平方差公式是多项式乘法$(a + b)(p + q)$中 $p = $______,$q = $______的特殊情形.

答案： a -b

由图形可得 $S_1 + S_2 + S_3 = a^2$,$S_1 + S_4 = (a + b)(a - b)$,$S_2 = S_4$,所以 $S_1 + S_2 = (a + b)(a - b)$.
因为 $S_1 + S_2 + S_3 = a^2$,$S_3 = b^2$,所以$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
………

答案： $(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$

【例1】计算：
(1)$(-2y - 3x)(2y - 3x)$；
(2)$(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2})(x^2 + \frac{1}{4})$；
(3)$(y + 3)(y - 3) + (y - 2)(y + 7)$.

答案： 解（1）(-2y-3x)(2y-3x)=(-3x)²-(2y)²=9x²-4y²；
（2）(x - $\frac{1}{2}$)(x + $\frac{1}{2}$)(x² + $\frac{1}{4}$)=(x² - $\frac{1}{4}$)·(x² + $\frac{1}{4}$)=x⁴ - $\frac{1}{16}$；
（3）(y+3)(y-3)+(y-2)(y+7)=(y² - 9)+(y² + 7y - 2y - 14)=2y² + 5y - 23.

 【对点训练1】计算：
(1)$(4x - 3y)(3y + 4x)$；
(2)$(2x + 1)(4x^2 + 1)(2x - 1)(16x^4 + 1)$；
(3)$2(a - 3)(a + 2) - (4 + a)(4 - a)$.

答案： 解（1）(4x - 3y)(3y + 4x)=(4x)² - (3y)²=16x² - 9y²；
（2）(2x + 1)(4x² + 1)(2x - 1)(16x⁴ + 1)=(2x + 1)(2x - 1)(4x² + 1)(16x⁴ + 1)=(4x² - 1)(4x² + 1)(16x⁴ + 1)=(16x⁴ - 1)(16x⁴ + 1)=256x⁸ - 1；
（3）2(a - 3)(a + 2) - (4 + a)(4 - a)=2(a² + 2a - 3a - 6) - (16 - a²)=2a² + 4a - 6a - 12 - 16 + a²=3a² - 2a - 28.