《2025年初中同步学习目标与检测八年级数学上册人教版》

【对点训练 3】如图,$ ∠1 = ∠2 $,$ ∠3 = ∠4 $,$ ∠A = 100° $,求 x 的值。

答案： 解
∵∠A=100°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°,即∠1+∠2+∠3+∠4=80°.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴2∠2+2∠4=80°,
∴∠2+∠4=40°.
∴x°=180°-(∠2+∠4)=180°-40°=140°,
∴x的值为140.

【例 4】如图,在△ABC 中,$ ∠1 = ∠2 $,$ ∠C ＞ ∠B $,E 为 AD 上一点,且 EF⊥BC 于 F。
(1)如图 1,探索 $ ∠DEF $ 与 $ ∠B $,$ ∠C $ 的数量关系；
(2)如图 2,当点 E 在 AD 的延长线上时,其他条件都不变,你在(1)中探索得到的结论是否成立？并说明理由。

答案：
解
(1)如图1,过点A作AG⊥BC于G,则EF//AG,
∴∠DEF=∠DAG,
∵∠AGC=90°,
∴∠CAG=90°-∠C.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C.
∵∠1=∠2,
∴∠2=1/2∠BAC=1/2(180°-∠B-∠C)=90°-1/2(∠B+∠C).
∵∠DAG=∠2-∠CAG=90°-1/2(∠B+∠C)-(90°-∠C)=1/2(∠C-∠B),
∴∠DEF=1/2(∠C-∠B).

(2)
(1)中的结论仍然成立.
如图2,过点A作AH⊥BC于H,则∠CAH=90°-∠C.
∵∠1=∠2,
∴∠2=1/2(180°-∠B-∠C),
∴∠DAH=∠2-∠CAH=1/2(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)=1/2(∠C-∠B).
∵EF⊥BC,
∴∠DEF+∠EDF=90°.
∵∠DAH+∠ADH=90°,∠EDF=∠ADH,
∴∠DEF=∠DAH,
∴∠DEF=1/2(∠C-∠B).

【对点训练 4】如图,在△ABC 中,$ ∠CAE = 22° $,$ ∠C = 47° $,$ ∠CBD = 30° $。
(1)求 $ ∠AFB $ 的度数；
(2)若 $ ∠BAF = 2∠ABF $,求 $ ∠BAF $ 的度数。

答案： 解
(1)
∵∠AEB=∠C+∠CAE,∠C=47°,∠CAE=22°,
∴∠AEB=69°.
∵∠CBD=30°,
∴∠AFB=69°+30°=99°.
(2)由条件可知3∠ABF=180°-99°,
∴∠ABF=27°,
∴∠BAF=54°.