《2025年初中同步学习目标与检测八年级数学上册人教版》

【对点训练 1】如图,A 是∠MON 边 OM 上一点,AE//ON.

(1)尺规作图：作∠MON 的平分线 OB,交 AE 于点 B；(保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)的条件下,若∠MAE = 48°,求∠OBA 的大小.

答案：
解
(1)如图，OB即为所求.

(2)
∵AE//ON,
∴∠MON=∠MAE=48°.
∵OB平分∠MON,
∴∠NOB=$\frac{1}{2}$∠MON=24°.
∵AB//ON,
∴∠OBA=∠NOB=24°.

【例 2】如图,在△ABC 中,∠C = 90°,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,点 F 在边 BC 上,DF = AD.

(1)求证 Rt△ADE≌Rt△FDC；
(2)请判断 CF,AB,BF 之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)证明
∵∠C=90°,DE⊥AB,BD平分∠ABC,
∴∠C=∠DEA=∠DEB=90°,DE=CD.
在Rt△ADE和Rt△FDC中,$\left\{\begin{array}{l} DE=DC,\\ AD=FD,\end{array}\right. $
∴Rt△ADE≌Rt△FDC(HL).
(2)解 AB=BF+2CF,理由如下:
由
(1)知Rt△ADE≌Rt△FDC,
∴AE=CF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.在△EBD和△CBD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DEB=∠C,\\ ∠DBE=∠DBC,\\ BD=BD,\end{array}\right. $
∴△EBD≌△CBD(AAS),
∴BE=BC.
∴AB=AE+EB=AE+BC=CF+CF+BF=2CF+BF,
∴AB=BF+2CF.

【对点训练 2】如图,AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于点 E,CF⊥AD,交 AD 的延长线于点 F,且 BC = DC.

(1)求证△BCE≌△DCF；
(2)若 D 是 AF 的中点,BE = 3,求 AB 的长.

答案：
(1)证明
∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=CF,∠CEB=∠F=90°.
在Rt△BCE和Rt△DCF中,$\left\{\begin{array}{l} BC=DC,\\ CE=CF,\end{array}\right. $
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).
(2)解 由
(1)知Rt△BCE≌Rt△DCF,
∴DF=BE=3.
∵D是AF的中点,
∴AF=2DF=2×3=6.
在Rt△AEC和Rt△AFC中,$\left\{\begin{array}{l} AC=AC,\\ EC=FC,\end{array}\right. $
∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL),
∴AE=AF=6.
∴AB=AE+BE=6+3=9.

1. 如图,OC 平分∠AOB,P 是 OC 上一点,PH⊥OB 于点 H,若 PH = 5,则点 P 到射线 OA 的距离是( )


A.5
B.2.5
C.10
D.7.5

答案： A

2. 如图,AB//CD,以点 A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 AB,AC 于点 M,N,再分别以点 M,N 为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$长为半径作弧,两弧相交于点 P,作射线 AP,交 CD 于点 E. 若∠C = 70°,则∠AED 的度数为( )


A.140°
B.130°
C.125°
D.110°

答案： C