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1. 不解方程,判断下列一元二次方程根的情况.
(1)$x^{2}-x-1= 0$; (2)$x^{2}+2x= -1$; (3)$3x^{2}-2x+4= 0$.
(1)$x^{2}-x-1= 0$; (2)$x^{2}+2x= -1$; (3)$3x^{2}-2x+4= 0$.
答案：
1. 解:
(1) $\because b^{2}-4 a c=(-1)^{2}-4 × 1 ×(-1)=5＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2) $\because b^{2}-4 a c=2^{2}-4 × 1 × 1=0$,
$\therefore$ 方程有两个相等的实数根.
(3) $\because b^{2}-4 a c=(-2)^{2}-4 × 3 × 4=-44＜0$,
$\therefore$ 方程没有实数根.
(1) $\because b^{2}-4 a c=(-1)^{2}-4 × 1 ×(-1)=5＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2) $\because b^{2}-4 a c=2^{2}-4 × 1 × 1=0$,
$\therefore$ 方程有两个相等的实数根.
(3) $\because b^{2}-4 a c=(-2)^{2}-4 × 3 × 4=-44＜0$,
$\therefore$ 方程没有实数根.
2. 已知关于x的方程$3x^{2}+2x-m= 0$有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
答案：
2. 解: 根据题意, 得 $b^{2}-4 a c=2^{2}-4 × 3 ×(-m)＞0$,
解得 $m＞-\frac{1}{3}$.
$\therefore$ 实数 $m$ 的取值范围为 $m＞-\frac{1}{3}$.
解得 $m＞-\frac{1}{3}$.
$\therefore$ 实数 $m$ 的取值范围为 $m＞-\frac{1}{3}$.
3. 求证:关于x的一元二次方程$x^{2}+mx-(m+2)= 0$必有两个不相等的实数根.
答案：
3. 证明: $b^{2}-4 a c=m^{2}-4 ×[-(m+2)]=m^{2}+4 m+8=(m+2)^{2}+4$,
$\because(m+2)^{2} \geq 0, \therefore(m+2)^{2}+4＞0$, 即 $b^{2}-4 a c＞0$,
$\therefore$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+m x-(m+2)=0$ 必有两个不相等的实数根.
$\because(m+2)^{2} \geq 0, \therefore(m+2)^{2}+4＞0$, 即 $b^{2}-4 a c＞0$,
$\therefore$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+m x-(m+2)=0$ 必有两个不相等的实数根.
4. 若关于x的一元二次方程$kx^{2}-6x+9= 0$有实数根,求k的取值范围.
答案：
4. 解: 根据题意, 得 $k \neq 0$ 且 $b^{2}-4 a c=(-6)^{2}-4 k × 9 \geq 0$,
解得 $k \leq 1$ 且 $k \neq 0$, 即实数 $k$ 的取值范围是 $k \leq 1$ 且 $k \neq 0$.
解得 $k \leq 1$ 且 $k \neq 0$, 即实数 $k$ 的取值范围是 $k \leq 1$ 且 $k \neq 0$.
5. 已知关于x的一元二次方程$(m+1)x^{2}-3x+2= 0$(m为常数).
(1)如果方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)如果方程有两个相等的实数根,求m的值;
(3)如果方程没有实数根,求m的取值范围.
(1)如果方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)如果方程有两个相等的实数根,求m的值;
(3)如果方程没有实数根,求m的取值范围.
答案：
5. 解:
(1) $\because$ 方程有两个不相等的实数根,
$\therefore b^{2}-4 a c=(-3)^{2}-4 × 2 ×(m+1)=-8 m+1＞0$,
且 $m+1 \neq 0$, 解得 $m＜\frac{1}{8}$ 且 $m \neq-1$,
即 $m$ 的取值范围是 $m＜\frac{1}{8}$ 且 $m \neq-1$.
(2) $\because$ 方程有两个相等的实数根,
$\therefore b^{2}-4 a c=-8 m+1=0$,
且 $m+1 \neq 0$, 解得 $m=\frac{1}{8}$,
即 $m$ 的值为 $\frac{1}{8}$.
(3) $\because$ 方程没有实数根,
$\therefore b^{2}-4 a c=-8 m+1＜0$, 且 $m+1 \neq 0$,
解得 $m＞\frac{1}{8}$,
即 $m$ 的取值范围是 $m＞\frac{1}{8}$.
(1) $\because$ 方程有两个不相等的实数根,
$\therefore b^{2}-4 a c=(-3)^{2}-4 × 2 ×(m+1)=-8 m+1＞0$,
且 $m+1 \neq 0$, 解得 $m＜\frac{1}{8}$ 且 $m \neq-1$,
即 $m$ 的取值范围是 $m＜\frac{1}{8}$ 且 $m \neq-1$.
(2) $\because$ 方程有两个相等的实数根,
$\therefore b^{2}-4 a c=-8 m+1=0$,
且 $m+1 \neq 0$, 解得 $m=\frac{1}{8}$,
即 $m$ 的值为 $\frac{1}{8}$.
(3) $\because$ 方程没有实数根,
$\therefore b^{2}-4 a c=-8 m+1＜0$, 且 $m+1 \neq 0$,
解得 $m＞\frac{1}{8}$,
即 $m$ 的取值范围是 $m＞\frac{1}{8}$.
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