《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社七年级理综》

17. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$为$\triangle ABC$的中线，点$E$在$AB$边上，$AD = AE$，连接$DE$.若$\angle BAC = 76^{\circ }$，求$\angle BDE$的度数.

$\angle BDE$的度数为19°.

答案： 因为$AB = AC$，$AD$为$\triangle ABC$的中线，所以$AD$平分$\angle BAC$，$AD \perp BC$，所以$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC = 38^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$。因为$AD = AE$，所以$\angle AED = \angle ADE = 71^{\circ}$，所以$\angle BDE = \angle ADB - \angle ADE = 19^{\circ}$。

18. 如图，在$\triangle ABC$中，将$\triangle ACB$沿直线$MN$折叠，使点$C$与点$B$重合，连接$BM$.
（1）若$\angle A = 80^{\circ }$，$\angle C = 40^{\circ }$，求$\angle ABM$的度数.20°
（2）若$AB = 5$，$AC = 8$，求$\triangle ABM$的周长.13

答案：
(1) 因为$\angle A + \angle C + \angle ABC = 180^{\circ}$，$\angle A = 80^{\circ}$，$\angle C = 40^{\circ}$，所以$\angle ABC = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ}$。由折叠可知，$\angle MBN = \angle C = 40^{\circ}$，则$\angle ABM = \angle ABC - \angle MBN = 20^{\circ}$。
(2) 由折叠可知，$MB = MC$。所以$\triangle ABM$的周长为$AB + AM + MB = AB + AM + MC = AB + AC = 5 + 8 = 13$。

19. 如图，四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$\angle D = 90^{\circ }$，$P$为$AD$上一点，将$\triangle ABP$沿$BP$翻折至$\triangle EBP$，$PE$与$CD$相交于点$O$，且$OE = OD$，$BE$与$CD$相交于点$G$.试判断$AP$与$DG$的数量关系，并说明理由.

$AP$与$DG$的数量关系为$AP = DG$。理由如下：因为$AB // CD$，$\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle A = 90^{\circ}$。由折叠可知$EP = AP$，$\angle E = \angle A = 90^{\circ}$，$BE = BA$。
在$\triangle ODP$和$\triangle OEG$中，$\begin{cases} \angle D = \angle E, \\ OD = OE, \\ \angle DOP = \angle EOG, \end{cases}$所以$\triangle ODP \cong \triangle OEG(ASA)$，所以$OP = OG$，所以$EP = OP + OE = OG + OD = DG$，所以$AP = DG$。

答案： $AP = DG$。理由如下：因为$AB // CD$，$\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle A = 90^{\circ}$。由折叠可知$EP = AP$，$\angle E = \angle A = 90^{\circ}$，$BE = BA$。
在$\triangle ODP$和$\triangle OEG$中，$\begin{cases} \angle D = \angle E, \\ OD = OE, \\ \angle DOP = \angle EOG, \end{cases}$所以$\triangle ODP \cong \triangle OEG(ASA)$，所以$OP = OG$，所以$EP = OP + OE = OG + OD = DG$，所以$AP = DG$。