《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社七年级理综》

20. 定义新运算：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$。例如：$\begin{vmatrix}2&a\\-1&b\end{vmatrix}=2× b - a× (-1)=2b + a$。
（1）计算$\begin{vmatrix}10&9x - 2xy - y\\1&xy - y\end{vmatrix}$，其结果为12xy - 9y - 9x，次数为2，项数为3。
（2）若$\vert x - 3 + y\vert$与$(xy + 4)^{2}$互为相反数，（1）中结果的值为-75。

答案：
(1) 由新定义可知，原式 $=10(xy - y)-(9x - 2xy - y)=10xy - 10y - 9x + 2xy + y = 12xy - 9y - 9x$。
12xy - 9y - 9x 的次数为 2，项数为 3。
(2) 因为 $|x - 3 + y|$ 与 $(xy + 4)^{2}$ 互为相反数，所以 $|x - 3 + y|+(xy + 4)^{2}=0$，所以 $x - 3 + y = 0$，$xy + 4 = 0$，则 $x + y = 3$，$xy = -4$，所以
(1) 中原式 $=12xy - 9(x + y)=12 × (-4)-9 × 3 = -75$。

21. 和谐广场有一块长为$(3a + b)m$，宽为$(2a + b)m$的长方形地，如图所示，北面两角上各有一块边长为$(a - b)m$的小正方形空地，现要对阴影部分进行绿化。
（1）用含$a$，$b$的式子表示绿化的总面积。（结果写成最简形式）
$(4a^{2}+9ab - b^{2})m^{2}$
（2）若$a = 40$，$b = 20$，求绿化的总面积。
$13200m^{2}$

答案：
(1) 绿化的总面积为 $(3a + b)(2a + b)-2(a - b)^{2}=4a^{2}+9ab - b^{2}(m^{2})$。
(2) 当 $a = 40$，$b = 20$ 时，绿化的总面积为 $4 × 40^{2}+9 × 40 × 20 - 20^{2}=13200(m^{2})$。

22.【知识技能】
已知：$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$，$(a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab$。
填空：（1）①$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-$$2ab$；②$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=$$4ab$。
【数学理解】
若$x$满足$(5 - x)(x - 2)=2$，求$(5 - x)^{2}+(x - 2)^{2}$的值。
解：设$5 - x = a$，$x - 2 = b$，则$(5 - x)(x - 2)=ab = 2$，$a + b=(5 - x)+(x - 2)=3$，
所以$(5 - x)^{2}+(x - 2)^{2}=a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 3^{2}-2× 2 = 5$。
【解决问题】
（2）①若$x$满足$(7 - x)(x - 3)=3$，则$(7 - x)^{2}+(x - 3)^{2}=$10。
②若$x$满足$(x + 1)^{2}+(x - 3)^{2}=26$，求$(x + 1)(x - 3)$的值。
解：设 $x + 1 = m$，$x - 3 = n$，则 $m - n = 4$，$m^{2}+n^{2}=(x + 1)^{2}+(x - 3)^{2}=26$，所以 $(x + 1)(x - 3)=mn=\frac{(m - n)^{2}-(m^{2}+n^{2})}{-2}=$5。 ③如图，已知正方形$AEMG$被分割成4个部分，其中四边形$CDEF$与$BCNG$为正方形，若$AB = x$，$AD = x + 1$，四边形$ABCD$的面积为6，求正方形$AEMG$的面积。

解：由题意，得 $x(x + 1)=6$。设 $AB = a$，$AD = b$，则 $a - b = x-(x + 1)=-1$，$ab = x(x + 1)=6$，所以 $S_{正方形AEMG}=AE^{2}=(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab=(-1)^{2}+4 × 6 =$25。

答案：
(1) ① $2ab$ ② $4ab$
(2) ① 10 ② 设 $x + 1 = m$，$x - 3 = n$，则 $m - n = 4$，$m^{2}+n^{2}=(x + 1)^{2}+(x - 3)^{2}=26$，所以 $(x + 1)(x - 3)=mn=\frac{(m - n)^{2}-(m^{2}+n^{2})}{-2}=5$。 ③ 由题意，得 $x(x + 1)=6$。设 $AB = a$，$AD = b$，则 $a - b = x-(x + 1)=-1$，$ab = x(x + 1)=6$，所以 $S_{正方形AEMG}=AE^{2}=(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab=(-1)^{2}+4 × 6 = 25$。