《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社七年级理综》

18. 如图，$∠1=∠B$，$∠B+∠BFD=90^{\circ }$.
（1）若$∠2=125^{\circ }$，求$∠C$的度数.$55^{\circ}$
（2）若$∠1$和$∠D$互余，你能试着说明$AB// CD$吗？
因为 $∠1 = ∠B$，$\angle B + \angle BFD = 90^{\circ}$，所以 $\angle 1 + \angle BFD = 90^{\circ}$。因为 $\angle 1$ 和 $\angle D$ 互余，即 $\angle 1 + \angle D = 90^{\circ}$，所以 $\angle BFD = \angle D$，所以 $AB // CD$。

答案：
(1) $\angle C = 55^{\circ}$
(2) 因为 $\angle 1 = \angle B$，$\angle B + \angle BFD = 90^{\circ}$，所以 $\angle 1 + \angle BFD = 90^{\circ}$。因为 $\angle 1$ 和 $\angle D$ 互余，即 $\angle 1 + \angle D = 90^{\circ}$，所以 $\angle BFD = \angle D$，所以 $AB // CD$。

19. 如图，已知$∠ABC$，画直线$DE// BC$，$DE$与$AB$相交于点$O$. 现将一个直角三角尺的直角顶点放在点$O$处，顶点$M$，$N$在$DE$的同侧，并使$OM$平分$∠AOD$.
（1）当$∠ABC=54^{\circ }$时，求$∠AOM$的度数.
（2）画$∠ABC$的平分线$BF$，那么$ON$与$BF$有怎样的位置关系？为什么？

答案：

(1) $\angle AOM = 63^{\circ}$
(2) $ON // BF$。理由如下：如图，过点 $B$ 作 $\angle ABC$ 的平分线 $BF$。因为 $DE // BC$，所以 $\angle ABC + \angle EOB = 180^{\circ}$。因为 $\angle EOB = \angle AOD$，所以 $\angle ABC + \angle AOD = 180^{\circ}$。因为 $OM$ 平分 $\angle AOD$，$BF$ 平分 $\angle ABC$，所以 $\angle AOD = 2\angle AOM$，$\angle ABC = 2\angle ABF$，所以 $2\angle AOM + 2\angle ABF = 180^{\circ}$，所以 $\angle AOM + \angle ABF = 90^{\circ}$。因为 $\angle AOM + \angle AON = 90^{\circ}$，所以 $\angle ABF = \angle AON$，所以 $ON // BF$。

20. 如图1，已知直线$AB// CD$，$∠ACB=∠ABC$，$CE$平分$∠ACD$.
（1）求$∠BCE$的度数.
（2）如图2，点$F$是线段$AB$上一点，连接$CF$，且$∠BCF=\frac {1}{2}∠DCE$.
①$∠ECF$与$∠MCF$有怎样的数量关系？请说明理由.
②如图3，点$N$在线段$CF$上，且满足$∠NAF+2∠FCM=180^{\circ }$，请你判断直线$AN$和$BC$的位置关系，并说明理由.

答案：

(1) 因为 $AB // CD$，所以 $\angle ABC = \angle BCM$。因为 $\angle ACB = \angle ABC$，所以 $\angle BCM = \angle ACB$。因为 $CE$ 平分 $\angle ACD$，所以 $\angle ACE = \angle DCE$，所以 $\angle ACB + \angle ACE = \angle DCE + \angle BCM = 90^{\circ}$，即 $\angle BCE = 90^{\circ}$。
(2) ① $\angle ECF = \angle MCF$。理由如下：由
(1) 知 $\angle ABC = \angle BCM$，$\angle ACE = \angle DCE$，$\angle MCF = \angle BCM + \angle BCF$，所以 $\angle ECF = \angle ACF + \angle ACE = \angle ACB - \angle BCF + \angle ACE$。因为 $\angle BCF = \frac{1}{2}\angle DCE = \frac{1}{2}\angle ACE$，所以 $\angle ECF = \angle ACB + \frac{1}{2}\angle ACE$，$\angle MCF = \angle BCM + \frac{1}{2}\angle ACE$。因为 $\angle BCM = \angle ACB$，所以 $\angle MCF = \angle ECF$。
② $AN \perp BC$。理由如下：如图，延长 $AN$ 交 $DM$ 于点 $G$。因为 $AB // CD$，所以 $\angle BAN = \angle AGD$。因为 $\angle NAF + 2\angle FCM = 180^{\circ}$，由 ① 知 $\angle FCM = \angle FCE$，所以 $\angle NAF = 180^{\circ} - \angle FCM - \angle FCE = \angle DCE$，即 $\angle AGD = \angle DCE$，所以 $AN // CE$。因为 $\angle BCE = 90^{\circ}$，所以 $EC \perp BC$，所以 $AN \perp BC$。