《2025年暑假作业内蒙古大学出版社七年级数学》

例4 某商场购进A,B两种商品,已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元;购进5件A商品和2件B商品总费用为620元.
(1)求A,B两种商品每件进价各为多少元?
(2)该商场计划购进A,B两种商品共60件,且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售,B商品按每件80元销售,为满足销售完A,B两种商品后获得的总利润不低于1770元,则购进A商品的件数最多为多少?


方法总结:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:①找准等量关系,正确列出二元一次方程组;②根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.

答案： 【解析】：
(1)此部分主要考察二元一次方程组的建立与求解。
首先，根据题目描述，可以建立起两个方程，分别代表购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元和购进5件A商品和2件B商品总费用为620元这两个关系。
然后，通过解这个二元一次方程组，可以得到A、B两种商品的进价。
(2)此部分主要考察一元一次不等式的建立与求解。
首先，设购进A商品m件，那么购进B商品就是$(60-m)$件。
然后，根据题目条件，可以建立起两个不等式，分别代表购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍和销售完A、B两种商品后获得的总利润不低于1770元这两个关系。
最后，通过解这个一元一次不等式组，可以得到购进A商品的最大件数。
【答案】：
(1)设A商品的进价是$x$元/件，B商品的进价是$y$元/件。
根据题意，我们可以列出以下方程组：
$\left\{\begin{array}{l}3x - 4y = 60, \\5x + 2y = 620. \end{array} \right.$
解这个方程组，我们得到：
$\left\{ \begin{array}{l}x = 100, \\y = 60. \end{array} \right.$
答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件。
(2)设购进A商品$m$件，那么购进B商品就是$(60 - m)$件。
根据题意，我们可以列出以下不等式组：
$\left\{ \begin{array}{l}60 - m \geqslant 2m, \\(150 - 100)m + (80 - 60)(60 - m) \geqslant 1770. \end{array} \right.$
解这个不等式组，我们得到：
$19 \leqslant m \leqslant 20$。
因此，$m$的最大值为20。
答：购进A商品的件数最多为20件。

3. 春浩中学在校本课程的实施过程中,计划组织学生编织大、小两种中国结.若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20m;若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13m.
(1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少m;
(2)春浩中学决定编织以上两种中国结共50个,这两种中国结所用绳长不超过165m,那么该中学最多编织多少个大号中国结?

答案：
(1)设编织1个大号中国结需用绳$x$米，编织1个小号中国结需用绳$y$米。由题意得：
$\begin{cases}2x + 4y = 20\\x + 3y = 13\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}$
答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米。
(2)设该中学编织$m$个大号中国结，则编织$(50 - m)$个小号中国结。由题意得：
$4m + 3(50 - m) \leq 165$
解得：$m \leq 15$
答：该中学最多编织15个大号中国结。