《2025年暑假作业内蒙古大学出版社七年级数学》

例2 若 $\begin{cases}x = 2,\\y = -1\end{cases} $ 是方程 $x + ay = 3$ 的一个解,则 $a$ 的值为 ______-1.

答案： 【解析】：
本题考查二元一次方程的知识点。
题目给出了一个方程 $x + ay = 3$ 和一组解 $x = 2, y = -1$，要求求解待定系数 $a$。
根据方法总结，我们将已知的解代入原方程中，即代入 $x = 2, y = -1$，从而得到一个关于 $a$ 的一元一次方程。
代入得：$2 + a(-1) = 3$，
化简得：$2 - a = 3$，
进一步解得：$a = -1$。
【答案】：
$a = -1$。

2. 已知 $\begin{cases}x = -2,\\y = 1\end{cases} $ 是关于 $x,y$ 的二元一次方程 $2kx + y = 4$ 的解,则 $k$ 的值为 ______$-\dfrac{3}{4}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二元一次方程的解的定义以及代数运算。
根据题目条件，$(x, y) = (-2, 1)$ 是方程 $2kx + y = 4$ 的一组解。
根据二元一次方程解的定义，将这组解代入方程，即：
$2k×(-2)+ 1 = 4$
化简得：
$-4k + 1 = 4$
$-4k = 3$
$k = -\frac{3}{4}$
【答案】：
$k = -\frac{3}{4}$

例3 解方程组: $\begin{cases}x + 2y = 3,\\x - 2y = 1.\end{cases} $

答案： 【解析】：
题目考查了二元一次方程组的解法，特别是加减消元法的应用。
首先，我们有方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 3, \quad (①) \\x - 2y = 1. \quad (②)\end{cases}$
利用加减消元法，将方程①和方程②相加，消去$y$，得到：
$2x = 4$，
解得：
$x = 2$，
接着，将方程①和方程②相减，消去$x$，得到：
$4y = 2$，
解得：
$y = \frac{1}{2}$，
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 2, \\y = \frac{1}{2}.\end{cases}$
【答案】：
方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = \frac{1}{2}.\end{cases}$

3. 如果方程组 $\begin{cases}2x + 3y = 7,\\y = 2x - 3\end{cases} $ 的解也是方程 $3x + my - 8 = 0$ 的一个解,则 $m$ 的值为 ______2.

答案： 【解析】：
本题可先求解方程组$\begin{cases}2x + 3y = 7\\y = 2x - 3\end{cases}$，得到$x$、$y$的值，再将$x$、$y$的值代入方程$3x + my - 8 = 0$，进而求出$m$的值。
步骤一：求解方程组$\begin{cases}2x + 3y = 7\\y = 2x - 3\end{cases}$
将$y = 2x - 3$代入$2x + 3y = 7$中，得到关于$x$的方程：
$2x + 3(2x - 3) = 7$
去括号：$2x + 6x - 9 = 7$
移项：$2x + 6x = 7 + 9$
合并同类项：$8x = 16$
系数化为$1$：$x = 2$
把$x = 2$代入$y = 2x - 3$，可得$y = 2×2 - 3 = 1$。
所以方程组$\begin{cases}2x + 3y = 7\\y = 2x - 3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$。
步骤二：将$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$代入方程$3x + my - 8 = 0$，求出$m$的值
把$x = 2$，$y = 1$代入$3x + my - 8 = 0$，得到$3×2 + m×1 - 8 = 0$，即$6 + m - 8 = 0$。
移项可得$m = 8 - 6$，解得$m = 2$。
【答案】：
$2$

4. 解方程组: $\begin{cases}2x - y = 5,\\4x + 3y = -10.\end{cases} $

答案： 【解析】：
本题考查二元一次方程组的解法，这里我们可以采用加减消元法或者代入消元法来求解。
首先，我们可以将第一个方程乘以3，然后与第二个方程相加，以消去变量$y$，从而得到一个只包含$x$的方程。
具体步骤如下：
1. 将第一个方程$2x - y = 5$两边同时乘以3，得到$6x - 3y = 15$。
2. 将得到的方程$6x - 3y = 15$与第二个方程$4x + 3y = -10$相加，消去$y$，得到$10x = 5$。
3. 解这个一元一次方程，得到$x$的值。
4. 将$x$的值代入原方程组中的任何一个方程，求解$y$的值。
【答案】：
解：
$\begin{cases}2x - y = 5, \quad (1) \\4x + 3y = -10. \quad (2)\end{cases}$
将方程
(1)两边同时乘以3，得：
$6x - 3y = 15. \quad (3)$
将方程
(3)与方程
(2)相加，得：
$10x = 5$
解得：
$x = \frac{1}{2}$
将$x = \frac{1}{2}$代入方程
(1)，得：
$2 × \frac{1}{2} - y = 5$
解得：
$y = -4$
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = \frac{1}{2}, \\y = -4.\end{cases}$

例4 端午节是中国传统节日,人们有吃粽子的习俗.某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽.请依据以下对话,求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价.

方法总结：列方程(组)解应用题的一般步骤:
(1) 审:审清题意,明确已知量和未知量;
(2) 设:直接或间接设出未知数;
(3) 找:找出题目中的等量关系;
(4) 列:根据数量关系列方程(组);
(5) 解:解这个方程(组),求出未知数的值;
(6) 验:检验所求的未知数的值是否为所列方程的解,是否符合实际问题;
(7) 答:写出答案.(包括单位名称)

答案： 解 设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为 $x$ 元、$y$ 元,
由题意得: $\begin{cases}(10x + 5y)×0.8 = 160\\x - y = 5\end{cases} $,
解得: $\begin{cases}x = 15\\y = 10\end{cases} $,
答:促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为 $15$ 元、$10$ 元.