《2025年暑假作业八年级数学内蒙古教育出版社》

※蚂蚁和大象一样重吗?
同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧! 蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的小石粒,而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木,结果蚂蚁获得了举重冠军!
我们这里谈论的话题是:蚂蚁和大象一样重吗? 我们知道,即使是最大的蚂蚁与最小的大象,它们的体重明显不是一个级别的.但是下面"推导"的结果却会让你大吃一惊:蚂蚁和大象一样重!
设蚂蚁的体重为$x\mathrm{g}$,大象的体重为$y\mathrm{g}$,它们的体重之和为$2a\mathrm{g}$,即$x + y = 2 a$.
两边同乘$( x - y )$,得$( x + y ) ( x - y ) = 2 a ( x - y )$,即$x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 2 a x - 2 a y$.
可变形为$x ^ { 2 } - 2 a x = y ^ { 2 } - 2 a y$.
两边都加上$a ^ { 2 }$,得$( x - a ) ^ { 2 } = ( y - a ) ^ { 2 }$.
于是$\sqrt { ( x - a ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( y - a ) ^ { 2 } }$,可得$x - a = y - a$,所以$x = y$.
这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论,岂不荒唐! 那么毛病究竟出在哪里呢? 亲爱的同学,你能找出来吗?
由$(x - a)^{2} = (y - a)^{2}$推出$x - a = y - a$时出现错误，因为根据算术平方根的性质$\sqrt{(x - a)^{2}}=\vert x - a\vert$，$\sqrt{(y - a)^{2}}=\vert y - a\vert$，所以由$(x - a)^{2} = (y - a)^{2}$应得到$\vert x - a\vert=\vert y - a\vert$，进而得到$x - a = y - a$或$x - a = -(y - a)$，而不能直接得出$x - a = y - a$。

答案： 【解析】：本题可根据等式的性质以及平方根的性质来分析推导过程中存在的问题。在推导过程中，由$(x - a)^{2} = (y - a)^{2}$得到$\sqrt{(x - a)^{2}} = \sqrt{(y - a)^{2}}$这一步是正确的，根据算术平方根的性质，$\sqrt{(x - a)^{2}}=\vert x - a\vert$，$\sqrt{(y - a)^{2}}=\vert y - a\vert$，所以$\vert x - a\vert=\vert y - a\vert$。而原推导直接得出$x - a = y - a$，忽略了绝对值的性质，绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数，即$x - a = y - a$或$x - a = -(y - a)$。
【答案】：由$(x - a)^{2} = (y - a)^{2}$推出$x - a = y - a$时出现错误，因为根据算术平方根的性质$\sqrt{(x - a)^{2}}=\vert x - a\vert$，$\sqrt{(y - a)^{2}}=\vert y - a\vert$，所以由$(x - a)^{2} = (y - a)^{2}$应得到$\vert x - a\vert=\vert y - a\vert$，进而得到$x - a = y - a$或$x - a = -(y - a)$，而不能直接得出$x - a = y - a$。