《2025年暑假作业八年级数学内蒙古教育出版社》

6. 如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,E是OA上任一点,CF⊥BE于点F,CF交OB于点G. 求证:OE= OG.

证明 ∵ 四边形 ABCD 为正方形，∴ 对角线 AC，BD 互相垂直平分，即 OB = OC，OB ⊥ AC．又 CF ⊥ BE，∴ ∠BGF = ∠OEB．∴ ∠OGC = ∠BGF = ∠OEB．∴ Rt△BOE ≌ Rt△COG，∴ OE = OG．

答案： 证明 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为正方形，$ \therefore $ 对角线 $ AC $，$ BD $ 互相垂直平分，即 $ OB = OC $，$ OB \perp AC $. 又 $ CF \perp BE $，$ \therefore \angle BGF = \angle OEB $. $ \therefore \angle OGC = \angle BGF = \angle OEB $. $ \therefore Rt\triangle BOE \cong Rt\triangle COG $，$ \therefore OE = OG $.

7. 已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,设有下列条件:①AB= AD;②∠DAB= 90°;③AO= CO,BO= DO;④四边形ABCD是矩形;⑤四边形ABCD是菱形;⑥四边形ABCD是正方形. 则下列推理不成立的是(C)
A.①④⇒⑥
B.①③⇒⑤
C.①②⇒⑥
D.②③⇒④

答案： C

8. 如图,E是正方形ABCD内一点,如果△ABE是等边三角形,那么∠DCE=15°,如果DE的延长线交BC于点G,则∠BEG=45°.

答案： 15 45

9. 如图,RA⊥AB,QB⊥AB,P是AB上一点,RP= PQ= a,RA= h,QB= k,∠RPA= 75°,∠QPB= 45°. 求AB的长.

答案：
解 过 $ R $ 作 $ BQ $ 的垂线交 $ BQ $ 的延长线于点 $ C $，则 $ AB = RC $. $ \because \angle RPA = 75^{\circ} $，$ \angle QPB = 45^{\circ} $，$ \therefore \angle RPQ = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 45^{\circ}) = 60^{\circ} $，$ \angle PQB = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} $. 又 $ RP = PQ $，$ \therefore \triangle PRQ $ 是等边三角形. $ \therefore RP = RQ $. 又 $ \angle RQC = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 75^{\circ} $，$ \therefore \angle RQC = \angle RPA $. $ \therefore Rt\triangle APR \cong Rt\triangle CQR $. $ \therefore AB = RC = AR = h $.