《2025年全品学练考九年级数学上册沪科版》

例7 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验(如图22-T-5①)，解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”。物理课上，小明和同桌做了小孔成像实验(如图②)，并记录了实验数据：物距为20 cm，像距为30 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6 cm，则蜡烛火焰的高度是（A）

A. 4 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 10 cm

答案： A

模块4 位似及其作图
1. 位似的概念：
一般地，如果一个图形上的点$A_{1}$，$B_{1}$，…，$P_{1}$和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足下面两点：(1)直线$AA_{1}$，$BB_{1}$，…，$PP_{1}$都经过同一点O；(2)$\frac {OA_{1}}{OA}=\frac {OB_{1}}{OB}=... =\frac {OP_{1}}{OP}=k$。那么，这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心。
2. 位似的性质：
任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。

答案： 1. 位似图形 位似中心 2. 相似比

例8 (2023安庆月考)$△ABC$在边长为1个单位的小正方形网格中的位置如图22-T-6所示。
(1)画出$△ABC$向上平移6个单位，再向右平移5个单位后得到的图形$△A_{1}B_{1}C_{1}$；
(2)以点B为位似中心，将$△ABC$放大为原来的2倍，得到$△A_{2}BC_{2}$，请在网格中画出$△A_{2}BC_{2}$；
(3)$△CC_{1}C_{2}$的面积为____，点$A_{2}$的坐标为____。

答案：
解:
(1)如图,$△A_{1}B_{1}C_{1}$即为所作
　　　　　　
(2)如图,$△A_{2}BC_{2}$即为所作.
(3)9 $(3,5)$

例9 (2024合肥包河区一模)在$△ABC$中，$∠A=90^{\circ }$，CD平分$∠ACB$交AB于点E，过点B作$BD⊥CD$于点D。
(1)如图22-T-7①，当$AB=AC$时，
①求$∠DBE$的度数；
②探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由。
(2)如图②，当$AB=\frac {5}{2}AC$时，求$\frac {BD}{CE}$的值。

答案：
解:
(1)①$\because AB=AC,∠A=90^{\circ },$
$\therefore ∠ABC=∠ACB=45^{\circ }.$
$\because CD$平分$∠ACB,$
$\therefore ∠BCD=∠ACD=22.5^{\circ }.$
$\because BD⊥CD,\therefore ∠D=∠A=90^{\circ }.$
$\because ∠BED=∠CEA,$
$\therefore ∠DBE=∠ACD=22.5^{\circ }.$
②$CE=2BD.$
理由如下:
如图a,延长$BD$,$CA$交于点$F$.
$\because CD⊥BF,$
$\therefore ∠CDB=∠CDF=90^{\circ }.$
由①知$∠BCD=∠FCD.$
$\because CD=CD,$
$\therefore △BCD\cong △FCD,$
$\therefore BD=FD.$
易证$△FBA\cong △ECA,$
$\therefore CE=BF,\therefore CE=2BD.$
　　　　　　　　　　　　
(2)如图b,延长$BD$,$CA$交于点$G$.
$\because CD$平分$∠ACB,$
$\therefore ∠DCG=∠DCB.$
$\because ∠BDC=∠GDC=90^{\circ },$
$CD=CD,$
$\therefore △DCG\cong △DCB(ASA),$
$\therefore BD=DG$,即$BG=2BD.$
$\because ∠BAG=∠CAE=90^{\circ },∠ACE=∠ABG,$
$\therefore △ACE\backsim △ABG,$
$\therefore \frac {BG}{CE}=\frac {AB}{AC}=\frac {5}{2},$
$\therefore \frac {2BD}{CE}=\frac {5}{2},\therefore \frac {BD}{CE}=\frac {5}{4}.$