《2025年全品学练考九年级数学上册沪科版》

探究与应用
探新知 悟本质 会迁移
活动1 理解二次函数的概念
问题情境
(1)某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.试写出围成的矩形水面面积$S\mathrm{m}^2$与其一边长$x\mathrm{m}$之间的函数表达式;$S=x(20-x)$
(2)有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.试写出每天装配玩具总数y与增加人数x之间的函数表达式.$y=(190-10x)(15+x)$
启发思考
(1)将上面两个问题中的函数表达式化简,从自变量的个数和次数两个角度分析它们有什么共同特征;$S=x(20-x)=-x^{2}+20x,y=(190-10x)(15+x)=-10x^{2}+40x+2850$。对比两个函数表达式,它们自变量的个数均为1,并且自变量的最高次数均为2。
(2)类比一次函数的概念,你能给新函数命名吗?类比一次函数的概念,可以给新函数命名为二次函数。
概括新知
二次函数:一般地,表达式形如$y=ax^{2}+bx+c$(a,b,c是常数,且$a\neq0$)的函数叫做x的二次函数,其中x是自变量,$ax^2$叫做二次项,bx叫做一次项,c叫做常数项.

答案： 【探究与应用】
[问题情境]
(1)$S=x(20-x)$
(2)$y=(190-10x)(15+x)$
[启发思考]
解:
(1)$S=x(20-x)=-x^{2}+20x,y=(190-10x)(15+x)=-10x^{2}+40x+2850$。对比两个函数表达式,它们自变量的个数均为1,并且自变量的最高次数均为2。
(2)类比一次函数的概念,可以给新函数命名为二次函数。
[概括新知]
$y=ax^{2}+bx+c$