《2024年新疆名校单元检测试卷九年级数学全一册人教版》

18. (6 分)如图,在网格图中,每格是边长为 1 的正方形,四边形 ABCD 的顶点均在格点上.
(1)请以点 O 为位似中心,在网格图中作出四边形$A'B'C'D'$,使四边形$A'B'C'D'$与四边形 ABCD 位似,且$\frac{OC'}{OC}=2$;
(2)填空:线段$BB'$的长为______, $\triangle A'D'O$的面积为______.

答案： 解：
(1)如图，四边形A'B'C'D'即为所求，
(2)6$\sqrt{2}$ 10 [解析]线段BB'的长为$\sqrt{6^{2}+6^{2}}$ = 6$\sqrt{2}$；
△A'D'O的面积S = 4×6 - $\frac{1}{2}×2×4 - \frac{1}{2}×2×4 - \frac{1}{2}×2×6$ = 10.

19. (6 分)如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ},AB = 14,AC = 7,D$是 BC 上一点,$BD = 8,DE⊥AB$,垂足为点 E,求线段 DE 的长.

答案： 解：
∵DE⊥AB，
∴∠BED = 90°，又∠C = 90°，
∴∠BED = ∠C. 又∠B = ∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AC}$，
∴DE = $\frac{BD·AC}{AB}=\frac{8×7}{14}$ = 4.

20. (6 分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ},\triangle ACD$沿 AD 折叠,使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处.
(1)求证:$\triangle BDE\sim\triangle BAC$;
(2)已知$AC = 6,BC = 8$,求线段 AD 的长度.

答案： 解：
(1)
∵∠C = 90°，根据折叠图形的性质，
∴∠BED = 90°，
∴∠C = ∠BED，又
∵∠B = ∠B，
∴△BDE∽△BAC.
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB = 10，设CD = x，则BD = 8 - x，DE = x，AE = AC = 6，则BE = 4，在Rt△BDE中，由勾股定理，得(8 - x)² = x² + 4²，解得x = 3，
∴DE = 3，在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AD = $\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}$ = 3$\sqrt{5}$.

21. (5 分)为了测量校园水平地面上一棵树的高度,数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺,设计如图所示的测量方案. 已知测量同学眼睛 A,标杆顶端 F,树的顶端 E 在同一直线上,此同学眼睛距地面 1.6 米,标杆高为 3.2 米,且$BC = 2$米,$CD = 6$米,求树 ED 的高.

答案： 解：如图，过A作AH垂直ED，垂足为点H，交线段FC与点G，
由题知，FG//EH，
∴△AFG∽△AEH，
∴$\frac{FG}{EH}=\frac{AG}{AH}$.
又AG = BC = 2，AH = BD = 2 + 6 = 8，FG = FC - GC = 3.2 - 1.6 = 1.6，
∴$\frac{1.6}{EH}=\frac{2}{8}$，EH = 6.4，
∴ED = EH + HD = 6.4 + 1.6 = 8，即树ED的高为8米.