《2024年新疆名校单元检测试卷九年级数学全一册人教版》

19. (9分)已知关于$x$的方程$3x^{2}-(a - 3)x - a = 0(a\gt0)$.
　　(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
　　(2)若方程有一个根大于2,求$a$的取值范围.

答案：
(1)证明:Δ = (a - 3)² - 4×3×(- a) = (a + 3)².
∵a＞0,
∴(a + 3)²＞0,即Δ＞0.
∴方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:
∵Δ = (a + 3)²＞0,由求根公式得x = (a - 3±√((a + 3)²))/(2×3),
∴x₁ = - 1,x₂ = a/3.
∵方程有一个根大于2,
∴a/3＞2.
∴a＞6.

20. (10分)关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}+1 = 0$有两个不相等实数根$x_{1},x_{2}$.
　　(1)求实数$k$的取值范围;
　　(2)若方程两实数根$x_{1},x_{2}$满足$|x_{1}|+|x_{2}|=x_{1}\cdot x_{2}$,求$k$的值.

答案： 解:
(1)
∵原方程有两个不相等的实数根,
∴Δ = (2k + 1)² - 4(k² + 1) = 4k² + 4k + 1 - 4k² - 4 = 4k - 3＞0,解得k＞3/4;
(2)
∵k＞3/4,
∴x₁ + x₂ = - (2k + 1)＜0.
又
∵x₁·x₂ = k² + 1＞0,
∴x₁＜0,x₂＜0,
∴|x₁| + |x₂| = - x₁ - x₂ = - (x₁ + x₂) = 2k + 1.
∵|x₁| + |x₂| = x₁·x₂,
∴2k + 1 = k² + 1,
∴k₁ = 0,k₂ = 2.又
∵k＞3/4,
∴k = 2.