《2024年新疆名校单元检测试卷九年级数学全一册人教版》

18. (8分)已知抛物线 $y=-x^{2}+bx + c$ 经过点 $B(-1,0)$ 和点 $C(2,3)$。
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)如果此抛物线上下平移后过点 $(-2,-1)$，试确定平移的方向和平移的距离。

答案： 解：
(1)将点$B(-1,0)$，$C(2,3)$代入$y=-x^{2}+bx + c$，
得$\begin{cases}-1 - b + c = 0\\-4 + 2b + c = 3\end{cases}$．
解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$．
∴此抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$；
(2)在$y=-x^{2}+2x + 3$中，当$x = - 2$时，$y=-4 - 4 + 3=-5$．
若点$(-2,-5)$平移后的对应点为$(-2,-1)$，则需将抛物线向上平移 4 个单位．

19. (8分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2}+mx + n$ 经过点 $A(3,0),B(0,-3)$，点 $P$ 是直线 $AB$ 上的动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $M$，设点 $P$ 的横坐标为 $t$。
(1)分别求出直线 $AB$ 和这条抛物线的表达式；
(2)若点 $P$ 在第四象限，连接 $AM,BM$，当线段 $PM$ 最长时，求点 $P$ 的坐标。

答案： 解：
(1)
∵抛物线$y = x^{2}+mx + n$经过点$A(3,0)$，$B(0,-3)$，
∴$\begin{cases}9 + 3m + n = 0\\n = - 3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m = - 2\\n = - 3\end{cases}$，
∴$y = x^{2}-2x - 3$．
设直线$AB$的表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，将$A(3,0)$，$B(0,-3)$的坐标分别代入，得
$\begin{cases}3k + b = 0\\b = - 3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = 1\\b = - 3\end{cases}$．
∴直线$AB$的表达式为$y = x - 3$；
(2)设$P(t,t - 3)(0\lt t\lt3)$，$M(t,t^{2}-2t - 3)$，
∴$PM=t - 3-(t^{2}-2t - 3)=-t^{2}+3t=-(t-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$．
当$t=\frac{3}{2}$时，$PM$取得最大值，$t - 3=-\frac{3}{2}$．
∴$P(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$．

20. (8分)已知 $\triangle ABC$ 中，边 $BC$ 的长与 $BC$ 边上的高的和为 20。
(1)写出 $\triangle ABC$ 的面积 $y$ 与 $BC$ 的长 $x$ 之间的函数关系式，并求出面积为 48 时 $BC$ 的长；
(2)当 $BC$ 的长为多少时， $\triangle ABC$ 的面积最大？ 最大面积是多少？

答案： 解：
(1)$y=\frac{1}{2}x(20 - x)=-\frac{1}{2}x^{2}+10x$，
解方程$48=-\frac{1}{2}x^{2}+10x$，得$x_{1}=12$，$x_{2}=8$，
∴当$\triangle ABC$的面积为 48 时，$BC$的长为 12 或 8；
(2)将$y=-\frac{1}{2}x^{2}+10x$配方变形为$y=-\frac{1}{2}(x - 10)^{2}+50$．
∴当$x = 10$，即$BC = 10$时，$\triangle ABC$的面积最大，最大面积为 50．