《2024年新疆名校单元检测试卷九年级数学全一册人教版》

21. (12分)如图,小明站在点 $O$ 处练习发排球,将球从 $O$ 点正上2 m的 $A$ 点处发出,把球看成点,其运行的高度 $y$(m)与运行的水平距离 $x$(m)满足关系式 $y = a(x - h)^{2}+k$. 已知球与 $O$ 点的水平距离 $ON$ 为6 m时,达到最高3 m,球场的边界距 $O$ 点的水平距离为18 m.
(1)请确定排球运行的高度 $y$ 与运行的水平距离 $x$ 满足的函数关系式;
(2)请判断排球第一次落地时是否出界? 请通过计算说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)由题意可知该抛物线顶点为$M(6,3)$，
∴$y=a(x - 6)^{2}+3$.
把$A(0,2)$的坐标代入，得$a(0 - 6)^{2}+3=2$，
解得$a=-\frac{1}{36}$.
∴排球运行的高度$y$与运行的水平距离$x$满足的函数关系式为$y=-\frac{1}{36}(x - 6)^{2}+3$；
(2)没出界.理由：设第一次落地点为$B$，令$y=0$，则$-\frac{1}{36}(x - 6)^{2}+3=0$，
解得$x_{1}=6 - 6\sqrt{3}$(舍去)，$x_{2}=6 + 6\sqrt{3}$，
∵$6 + 6\sqrt{3}＜18$，
∴排球第一次落地时没出界.

22. (12分)在平面直角坐标系中,点 $O$ 为原点,平行于 $x$ 轴的直线与抛物线 $L:y = ax^{2}$ 相交于 $A$, $B$ 两点(点 $B$ 在第一象限),点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上.
(1)已知 $a = 1$,点 $B$ 的纵坐标为2.
①如图1,向右平移抛物线 $L$ 使该抛物线过点 $B$,与 $AB$ 的延长线交于点 $C$,求 $AC$ 的长;
②如图2,若 $BD = \frac{1}{2}AB$,过点 $B$, $D$ 的抛物线 $L_{2}$ 的顶点 $M$ 在 $x$ 轴上,求该抛物线的函数表达式;
(2)如图3,若 $BD = AB$,过 $O$, $B$, $D$ 三点的抛物线 $L_{3}$ 的顶点为 $P$,对应函数的二次项系数为 $a_{3}$,过点 $P$ 作 $PE// x$ 轴,交抛物线 $L$ 于 $E$, $F$ 两点,求 $\frac{a_{3}}{a}$ 的值,并直接写出 $\frac{AB}{EF}$ 的值.
　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)①二次函数$y=x^{2}$，当$y=2$时，$2=x^{2}$，解得$x_{1}=\sqrt{2}$，$x_{2}=-\sqrt{2}$，
∴$AB=2\sqrt{2}$.
∵平移得到的抛物线$L_{1}$经过点$B$，
∴$BC=AB=2\sqrt{2}$，
∴$AC=4\sqrt{2}$.
②作抛物线$L_{2}$的对称轴与$AD$相交于点$N$，如图①所示，
根据抛物线的轴对称性，得$BN=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{4}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$OM=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
设抛物线$L_{2}$的函数表达式为$y=a(x-\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}$，由①得，
$B$点的坐标为$(\sqrt{2},2)$，
∴$2=a(\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}$，解得$a=4$.
∴抛物线$L_{2}$的函数表达式为$y=4(x-\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}$；
　　　　
(2)如图②，抛物线$L_{3}$与$x$轴交于点$G$，其对称轴与$x$轴交于点$Q$，过点$B$作$BK\perp x$轴于点$K$，设$OK=t$，则$BD=AB=2t$，点$B$的坐标为$(t,at^{2})$. 根据抛物线的轴对称性，得$OQ=2t$，$OG=2OQ=4t$.
设抛物线$L_{3}$的函数表达式为$y=a_{3}x(x - 4t)$.
∵该抛物线过点$B(t,at^{2})$，
∴$at^{2}=a_{3}t(t - 4t)$.
∵$t\neq0$，
∴$\frac{a_{3}}{a}=-\frac{1}{3}$.
由题意得，点$P$的坐标为$(2t,-4a_{3}t^{2})$，则$-4a_{3}t^{2}=ax^{2}$，解得$x_{1}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}t$，$x_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}t$，$EF=\frac{4\sqrt{3}}{3}t$，
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.