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1. 拼图与证明
方法一:毕达哥拉斯证法
(1)从附录2中揭下4个直角三角形纸片和1号正方形纸片,拼成1个新的正方形.
(2)从附录2中揭下4个直角三角形纸片和2号正方形纸片、3号正方形纸片,拼成1个新的正方形.
(3)请利用所拼成的2个图证明勾股定理.
方法二:赵爽弦图证法
(1)利用附录2中的4个直角三角形,拼成如图10-1所示的图案.
(2)利用图10-1证明勾股定理.
2. 观察与证明
(1)观察图10-2中阴影部分的变化,证明勾股定理.
(2)观察下列图形,尝试说明如何利用它们证明勾股定理.
实验指南
本实验是为苏科版《义务教育教科书 数学》八年级上册“3.1 勾股定理”而设计的,可以用作教学片断.通过不同的拼图活动,得到证明勾股定理的不同思路与方法,体现数与形的完美结合.
首先,通过拼图活动证明勾股定理.记附录2中各直角三角形的直角边为a、b,斜边为c,毕达哥拉斯证法是分别计算所拼的两个图形中4个直角三角形的面积,得到$(a+b)^2 - c^2= (a+b)^2 - a^2 - b^2$,从而得到勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$;赵爽弦图法是通过所拼图形面积的不同计算方法,得到$4×\frac{1}{2}ab+(a - b)^2 = c^2$,从而得到勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$.
其次,观察图10-2中阴影部分的变化,利用面积不变证明勾股定理.
最后,观察不同的拼图方式,尝试用青朱出入图法、达·芬奇证法、总统证法等证明勾股定理.
名人名言
数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事休.
——数学家 华罗庚
方法一:毕达哥拉斯证法
(1)从附录2中揭下4个直角三角形纸片和1号正方形纸片,拼成1个新的正方形.
(2)从附录2中揭下4个直角三角形纸片和2号正方形纸片、3号正方形纸片,拼成1个新的正方形.
(3)请利用所拼成的2个图证明勾股定理.
方法二:赵爽弦图证法
(1)利用附录2中的4个直角三角形,拼成如图10-1所示的图案.
(2)利用图10-1证明勾股定理.
2. 观察与证明
(1)观察图10-2中阴影部分的变化,证明勾股定理.
(2)观察下列图形,尝试说明如何利用它们证明勾股定理.
实验指南
本实验是为苏科版《义务教育教科书 数学》八年级上册“3.1 勾股定理”而设计的,可以用作教学片断.通过不同的拼图活动,得到证明勾股定理的不同思路与方法,体现数与形的完美结合.
首先,通过拼图活动证明勾股定理.记附录2中各直角三角形的直角边为a、b,斜边为c,毕达哥拉斯证法是分别计算所拼的两个图形中4个直角三角形的面积,得到$(a+b)^2 - c^2= (a+b)^2 - a^2 - b^2$,从而得到勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$;赵爽弦图法是通过所拼图形面积的不同计算方法,得到$4×\frac{1}{2}ab+(a - b)^2 = c^2$,从而得到勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$.
其次,观察图10-2中阴影部分的变化,利用面积不变证明勾股定理.
最后,观察不同的拼图方式,尝试用青朱出入图法、达·芬奇证法、总统证法等证明勾股定理.
名人名言
数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事休.
——数学家 华罗庚
答案：
【解析】：
本题主要考查勾股定理的证明，通过不同的拼图方式，利用面积相等来证明勾股定理。
毕达哥拉斯证法是通过分别计算两个拼图中$4$个直角三角形的面积，结合正方形面积关系得到勾股定理；赵爽弦图证法是通过所拼图形面积的不同计算方法得到勾股定理；观察图$10 - 2$中阴影部分的变化，利用面积不变证明勾股定理；还可以通过青朱出入图法、达·芬奇证法、总统证法等不同拼图方式证明勾股定理，这些方法都体现了数与形的完美结合。
【答案】：
1. 拼图与证明
方法一：毕达哥拉斯证法
(1) 从附录$2$中揭下$4$个直角三角形纸片和$1$号正方形纸片，拼成一个边长为$a + b$的正方形。
(2) 从附录$2$中揭下$4$个直角三角形纸片和$2$号正方形纸片、$3$号正方形纸片，拼成一个边长为$c$的正方形。
(3) 证明：
第一个图形中，$4$个直角三角形的面积和为$4×\frac{1}{2}ab = 2ab$，正方形面积为$(a + b)^2$，所以除$4$个直角三角形外的小正方形面积为$(a + b)^2 - 2ab$。
第二个图形中，正方形面积为$c^2$。
因为两个图形中$4$个直角三角形是全等的，所以它们的面积相等，那么$(a + b)^2 - 2ab = c^2$，展开$(a + b)^2$得$a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = c^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
方法二：赵爽弦图证法
(1) 利用附录$2$中的$4$个直角三角形，拼成如图$10 - 1$所示的图案。
(2) 证明：
大正方形面积为$c^2$，它由$4$个直角三角形和一个小正方形组成。
$4$个直角三角形面积和为$4×\frac{1}{2}ab = 2ab$，小正方形边长为$a - b$，面积为$(a - b)^2$。
所以$c^2 = 2ab + (a - b)^2$，展开$(a - b)^2$得$c^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
2. 观察与证明
(1) 观察图$10 - 2$中阴影部分的变化，证明勾股定理：
第一个图形阴影部分面积为$a^2 + b^2$，后面几个图形通过拼补，阴影部分组成了一个边长为$c$的正方形，面积为$c^2$，由于拼补过程中面积不变，所以$a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 青朱出入图法：
通过图形的出入变换，白色部分面积不变。
开始时白色部分面积为$a^2 + b^2$，变换后白色部分组成了一个边长为$c$的正方形，面积为$c^2$，所以$a^2 + b^2 = c^2$。
总统证法：
梯形面积为$\frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}(a + b)^2$，也等于$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$（$2$个直角三角形面积加上中间小正方形面积）。
即$\frac{1}{2}(a + b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，展开$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，化简得$a^2 + b^2 = c^2$。
达·芬奇证法：
大正方形面积为$c^2$，它由$4$个直角三角形和中间小正方形组成。
$4$个直角三角形面积和为$2ab$，小正方形边长可根据图形关系求出，通过面积计算可得$a^2 + b^2 = c^2$。
本题主要考查勾股定理的证明，通过不同的拼图方式，利用面积相等来证明勾股定理。
毕达哥拉斯证法是通过分别计算两个拼图中$4$个直角三角形的面积，结合正方形面积关系得到勾股定理；赵爽弦图证法是通过所拼图形面积的不同计算方法得到勾股定理；观察图$10 - 2$中阴影部分的变化，利用面积不变证明勾股定理；还可以通过青朱出入图法、达·芬奇证法、总统证法等不同拼图方式证明勾股定理，这些方法都体现了数与形的完美结合。
【答案】：
1. 拼图与证明
方法一：毕达哥拉斯证法
(1) 从附录$2$中揭下$4$个直角三角形纸片和$1$号正方形纸片，拼成一个边长为$a + b$的正方形。
(2) 从附录$2$中揭下$4$个直角三角形纸片和$2$号正方形纸片、$3$号正方形纸片，拼成一个边长为$c$的正方形。
(3) 证明：
第一个图形中，$4$个直角三角形的面积和为$4×\frac{1}{2}ab = 2ab$，正方形面积为$(a + b)^2$，所以除$4$个直角三角形外的小正方形面积为$(a + b)^2 - 2ab$。
第二个图形中，正方形面积为$c^2$。
因为两个图形中$4$个直角三角形是全等的，所以它们的面积相等，那么$(a + b)^2 - 2ab = c^2$，展开$(a + b)^2$得$a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = c^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
方法二：赵爽弦图证法
(1) 利用附录$2$中的$4$个直角三角形，拼成如图$10 - 1$所示的图案。
(2) 证明：
大正方形面积为$c^2$，它由$4$个直角三角形和一个小正方形组成。
$4$个直角三角形面积和为$4×\frac{1}{2}ab = 2ab$，小正方形边长为$a - b$，面积为$(a - b)^2$。
所以$c^2 = 2ab + (a - b)^2$，展开$(a - b)^2$得$c^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
2. 观察与证明
(1) 观察图$10 - 2$中阴影部分的变化，证明勾股定理：
第一个图形阴影部分面积为$a^2 + b^2$，后面几个图形通过拼补，阴影部分组成了一个边长为$c$的正方形，面积为$c^2$，由于拼补过程中面积不变，所以$a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 青朱出入图法：
通过图形的出入变换，白色部分面积不变。
开始时白色部分面积为$a^2 + b^2$，变换后白色部分组成了一个边长为$c$的正方形，面积为$c^2$，所以$a^2 + b^2 = c^2$。
总统证法：
梯形面积为$\frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}(a + b)^2$，也等于$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$（$2$个直角三角形面积加上中间小正方形面积）。
即$\frac{1}{2}(a + b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，展开$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，化简得$a^2 + b^2 = c^2$。
达·芬奇证法：
大正方形面积为$c^2$，它由$4$个直角三角形和中间小正方形组成。
$4$个直角三角形面积和为$2ab$，小正方形边长可根据图形关系求出，通过面积计算可得$a^2 + b^2 = c^2$。
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