2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 4，则tan A的值为（ ）。
(A) $\frac{3}{4}$
(B) $\frac{4}{3}$
(C) $\frac{3}{5}$
(D) $\frac{4}{5}$
答案：根据正切函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。在Rt△ABC中，∠A的对边是BC，邻边是AC，所以$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$，答案选A。
2. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 13，cot A = $\frac{5}{12}$，则BC的长为（ ）。
(A) 5
(B) 12
(C) 13
(D) 17
答案：因为$\cot A=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$，设$AC = 5x$，$BC = 12x$（$x\gt0$）。根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，已知$AB = 13$，则$(5x)^{2}+(12x)^{2}=13^{2}$，$25x^{2}+144x^{2}=169$，$169x^{2}=169$，$x = 1$，所以$BC = 12x = 12$，答案选B。
3. 已知α为锐角，且cotα = 3，则tanα的值为（ ）。
(A) $\frac{1}{3}$
(B) $\frac{\sqrt{10}}{10}$
(C) 3
(D) $\sqrt{10}$
答案：根据余切和正切的关系$\tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}$，已知$\cot\alpha = 3$，所以$\tan\alpha=\frac{1}{3}$，答案选A。
4. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c。
(1) 若已知a、b，则c = ________，tan A = ________；
(2) 若已知a、tan B，则b = ________；
(3) 若已知a、cot B，则b = ________。
答案：(1) 根据勾股定理$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，$\tan A=\frac{a}{b}$；(2) 因为$\tan B=\frac{b}{a}$，所以$b = a\tan B$；(3) 因为$\cot B=\frac{a}{b}$，所以$b=\frac{a}{\cot B}$。
5. 点A(x, 1)在第一象限，且OA与x轴的夹角为α，若cotα = 2，则A点的坐标是________。
答案：因为$\cot\alpha=\frac{x}{1}=2$（点A(x, 1)，$\cot\alpha$是横坐标与纵坐标的比值），所以$x = 2$，则A点的坐标是(2, 1)。
6. 已知Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，tan B = 0.75，则BC的长为________。
答案：因为$\tan B=\frac{AC}{BC}=0.75=\frac{3}{4}$，$AC = 3$，所以$BC = 4$。
7. 在Rt△ABC中，∠A = 90°，AC = 3，BC = 4，则tan C = ________，cot C = ________。
答案：$\tan C=\frac{AB}{AC}$，先根据勾股定理$AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，所以$\tan C=\frac{\sqrt{7}}{3}$，$\cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$。
8. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BCA的值是________。
答案：通过构造直角三角形，利用正切的定义求解，答案为$\frac{1}{2}$。
9. 如图，已知$\tan O=\frac{4}{3}$，点P在边OA上，OP = 5，点M、N在边OB上，PM = PN，如果MN = 2，那么PM = ________。
答案：过点P作PC⊥OB于点C，因为$\tan O=\frac{4}{3}$，设PC = 4x，OC = 3x，根据勾股定理$OP=\sqrt{(4x)^{2}+(3x)^{2}} = 5x$，已知OP = 5，所以$x = 1$，$PC = 4$，$OC = 3$。因为PM = PN，PC⊥MN，所以MC = NC = 1，在Rt△PCM中，$PM=\sqrt{PC^{2}+MC^{2}}=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{17}$。
*10. 如图，在矩形ABCD中，点F为边CD上一点，沿AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处，若AB = 3，BC = 5，则tan∠EFC = ________。
答案：由折叠可知$AD = AE = 5$，$DE = EF$，在Rt△ABE中，$BE=\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，所以$EC = BC - BE = 5 - 4 = 1$。设$CF = x$，则$DF = EF = 3 - x$，在Rt△ECF中，根据勾股定理$EF^{2}=EC^{2}+CF^{2}$，即$(3 - x)^{2}=1^{2}+x^{2}$，$9 - 6x+x^{2}=1+x^{2}$，$6x = 8$，$x=\frac{4}{3}$，所以$\tan\angle EFC=\frac{EC}{CF}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$。
