2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
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10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点G是△ABC的重心，CG = 4，则AB = ______。
答案：12
11. 如图，△ABC中，点E在AD上，且点E是△ABC的重心，若S_{△ABC}=18，则S_{△DBC}= ______。
答案：6
12. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥AB交BC于点E，若AB = 9，BC = 6，则CE：BC = ______。
答案：2:3
13. 已知在△ABC中，AB = 5，BC = 12，AC = 13，那么△ABC的重心G到边AC的距离等于 ______。
答案：\frac{20}{13}
14. 如图，△ABC中，DE∥BC，AE = 3，DE = 4，DF = 2，CF = 5，求EC的长。
答案：设EC = x，因为DE∥BC，所以\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}，AC=AE + EC=3 + x，又因为DF∥AC，所以\frac{DF}{EC}=\frac{BD}{BC}，且\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}，由\frac{AE}{AE + EC}=\frac{DE}{DE + CF + DF}，即\frac{3}{3 + x}=\frac{4}{4 + 5+ 2}，解得x = \frac{21}{4}，所以EC的长为\frac{21}{4}。
15. 已知，△ABC中，∠C = 90°，G是三角形的重心，AB = 8，求：(1) GC的长；(2) 过点G的直线MN∥AB，交AC于点M、交BC于点N，求MN的长。
答案：(1) 因为直角三角形的重心到斜边中点的距离是斜边中线长的\frac{1}{3}，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，AB = 8，则斜边中线长为4，所以GC = \frac{8}{3}；(2) 因为MN∥AB，所以△CMN∽△CAB，相似比等于重心到顶点的距离与重心到对边中点距离之比，即\frac{MN}{AB}=\frac{2}{3}，AB = 8，所以MN = \frac{16}{3}。
16. 如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF = FB。
答案：因为四边形ABCD是正方形，所以AD∥BC，即AD∥BE，又因为FG∥BE，所以FG∥AD，所以\frac{GF}{AD}=\frac{EF}{ED}，因为AB∥CD，所以\frac{FB}{CD}=\frac{EF}{ED}，又因为AD = CD，所以GF = FB。
